Kreisring/Hauptideal/C oder R/Aufgabe

Wir betrachten den kommutativen Ring

${}R={\mathbb {K} }[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\,$

und darin das Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(X,Y-1)\,,$

wobei ${}{\mathbb {K} }$ gleich ${}\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$ sei.

1. Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein Hauptideal ist. Man gebe einen Erzeuger an.
2. Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.

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