Kreisring/Hauptideal/C oder R/Aufgabe/Lösung

1. Wir behaupten, dass

   $X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }$

   ein Idealerzeuger des Ideals ${}{\mathfrak {a}}$ ist. Zunächst gehört

   ${}X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }=X+{\mathrm {i} }(Y-1)\,$

   zum Ideal. Wegen

   ${}1=X^{2}+Y^{2}=(X+{\mathrm {i} }Y)(X-{\mathrm {i} }Y)\,$

   sind ${}X+{\mathrm {i} }Y$ und ${}X-{\mathrm {i} }Y$ Einheiten. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }Y+{\mathrm {i} }\right)}&=X^{2}+2{\mathrm {i} }XY-Y^{2}+1\\&=2X^{2}+2{\mathrm {i} }XY\\&=2X{\left(X+{\mathrm {i} }Y\right)},\end{aligned}}$

   daher gehört ${}X$ zu ${}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}$. Wegen

   ${}{\begin{aligned}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}&=X^{2}-Y^{2}-1+2{\mathrm {i} }XY-2{\mathrm {i} }X+2Y\\&=-2Y^{2}+2{\mathrm {i} }XY-2{\mathrm {i} }X+2Y\\&=2{\mathrm {i} }(X+{\mathrm {i} }Y)(Y-1)\end{aligned}}$

   gehört auch ${}Y-1$ dazu.

Zur gelösten Aufgabe