Kreisscheibe ohne Punkt/Senkrechte Differentialform und mit Pol/Satz von Stokes/Aufgabe

Es sei ${}M=B\left(0,1\right)\setminus \{(0,0)\}\subset \mathbb {R} ^{2}$ mit dem Rand ${}\partial M=S^{1}$. Wir betrachten die beiden stetig differenzierbaren ${}1$-Differentialformen

$\omega =ydx-xdy\,\,{\text{ und }}\,\,\tau ={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\left(ydx-xdy\right)}$

auf ${}M$. Zeige, dass die Einschränkungen der beiden Formen auf den Rand übereinstimmen und insbesondere ${}\int _{\partial M}\omega =\int _{\partial M}\tau$ gilt. Vergleiche

${}\int _{M}d\omega$ und ${}\int _{M}d\tau$.

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