Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt/Beweis2

Beweis

Es ist

${}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$

mit

${}0\leq k\leq \ell \leq n-1\,$

sofort durch betrachten des Quotienten ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus ${}\ell -k=0$. Es gibt also ${}n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel. Die Faktorzerlegung folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage