Kreisteilungskörper/Einheitswurzeln/Gleichheit/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Konstruktion der Kreisteilungskörper ist klar, dass ${}K_{n}$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln enthält. Wenn ${}n$ ungerade und ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ist, so ist ${}-\zeta$ eine primitive ${}2n$-te Einheitswurzel und somit sind die Inklusionen ${}\supseteq$ klar. Es ist also noch zu zeigen, dass die Kreisteilungskörper keine weiteren Einheitswurzeln enthält. Dazu können wir annehmen, dass ${}n$ gerade ist. Es sei ${}\xi$ eine zusätzliche Einheitswurzel der Ordnung ${}m$. Wir können annehmen, dass ${}m$ gerade und ein echtes Vielfaches von ${}n$ ist, da die von ${}\xi$ und einer primitiven ${}n$-ten Einheitswurzel ${}\zeta$ erzeugte Untergruppe wieder endlich und zyklisch und ihre Ordnung ein Vielfaches der beiden Ordnungen sein muss. Aus ${}\mu _{m}\subseteq K_{n}$ folgt ${}K_{m}\subseteq K_{n}$ nach Fakt. Es ist ${}m=2^{r}p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ und ${}n=2^{s}p_{1}^{s_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$ mit ${}r\geq s\geq 1$ und ${}r_{j}\geq s_{j}\geq 1$. Da ein Exponent echt größer ist, ergibt sich ein Widerspruch zu Fakt.

Zur bewiesenen Aussage