Kreisteilungskörper/Einheitswurzeln/Gleichheit/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Konstruktion der Kreisteilungskörper ist klar, dass die -ten Einheitswurzeln enthält. Wenn ungerade und eine primitive -te Einheitswurzel ist, so ist eine primitive -te Einheitswurzel und somit sind die Inklusionen klar. Es ist also noch zu zeigen, dass die Kreisteilungskörper keine weiteren Einheitswurzeln enthält. Dazu können wir annehmen, dass gerade ist. Es sei eine zusätzliche Einheitswurzel der Ordnung . Wir können annehmen, dass gerade und ein echtes Vielfaches von ist, da die von und einer primitiven -ten Einheitswurzel erzeugte Untergruppe wieder endlich und zyklisch und ihre Ordnung ein Vielfaches der beiden Ordnungen sein muss. Aus folgt nach Fakt. Es ist und mit und . Da ein Exponent echt größer ist, ergibt sich ein Widerspruch zu Fakt.