Kreisteilungskörper/F p/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}n$ eine natürliche Zahl, die wir als ${}n=kp^{a}$ schreiben mit ${}k$ und ${}p$ teilerfremd. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}{\mathbb {F} }_{p}$ gleich ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ist (mit $q=p^{e}$), wobei ${}q$ die minimale echte Potenz von ${}p$ mit der Eigenschaft ist, dass ${}q-1$ ein Vielfaches von ${}k$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches ${}q$ gibt.

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