Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt/Beweis

Beweis

Das -te Kreisteilungspolynom ist

Es ist nach Fakt

Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen und betrachtet, so ist deren Determinante gleich und deshalb kann man wegen Fakt genauso gut berechnen.

Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von ist nach der Produktregel gleich

Wenn man darin , , einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für zu , und der verbleibende Summand ist

Somit ist die Diskriminante gleich

wobei die Galoisgruppe durchläuft und Fakt verwendet wurde. Aufgrund von

gilt für die Ableitung auch die Beziehung

Wenn man darin einsetzt, so erhält man

und somit

Die Norm von ist

Deshalb ist die Diskriminante nach Fakt und Fakt gleich