Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann wird der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$

von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ erzeugt.

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist also

${}K_{n}=\mathbb {Q} {\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}=\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\,.$

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen