Kreisteilungskörper/Quadratische Körpererweiterung/Zerlegungsverhalten/Fakt

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Es sei ${}S$ der quadratische Zahlbereich zu ${}\left({\frac {-1}{p}}\right)p$ und es sei ${}R_{p}$ der ${}p$-te Kreisteilungsring. Es sei ${}f$ die multiplikative Ordnung von ${}q$ in ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}\left({\frac {-1}{p}}\right)p$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(q)$.
2. Über ${}(q)$ liegen in ${}\operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ zwei Primideale.
3. Über ${}(q)$ liegt in ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{p}\right)}$ eine gerade Anzahl von Primidealen.
4. Es ist ${}f$ ein Teiler von ${}{\frac {p-1}{2}}$
5. ${}q$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

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