Kreisteilungskörper/Quadratische Körpererweiterung/Zerlegungsverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar nach Aufgabe. Von (2) nach (3). Nach Fakt gilt ${}S\subseteq R_{p}$, sodass diese Richtung aus Fakt folgt, da sich der nichttrivale Automorphismus der quadratischen Erweiterung zu einem Automorphismus des Kreisteilungsringes fortsetzt, der die beiden Fasern vertauscht. Von (3) nach (2). Es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal über ${}(q)$. Nach Fakt  (3) ist

${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=\operatorname {grad} _{\mathbb {Z} /(q)}\kappa ({\mathfrak {q}})=f\,$

und nach Voraussetzung ist wegen Fakt ${}{\frac {p-1}{f}}$ gerade. Nach Aufgabe ist ${}{\frac {p-1}{f}}$ auch die Anzahl der Primideale über ${}(q)$ im Zerlegungsring und die Restekörper sind ${}\mathbb {Z} /(q)$. Da der Index der Zerlegungsgruppe in der zyklischen Galoisgruppe

${}\operatorname {Aut} \,(R_{p})\cong {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p-1),+,0\right)}\,$

gerade ist, umfasst der Zerlegungskörper den quadratischen Zahlbereich. Deshalb sind auch dessen Restekörper gleich dem Grundkörper und es liegt im Zahlbereich Zerlegung vor.

Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar aufgrund von Fakt. (4) bedeutet, dass

${}q^{\frac {p-1}{2}}=1\mod p\,,$

deshalb folgt die Äquivalenz von (4) und (5) aus dem Euler-Kriterium.

Zur bewiesenen Aussage