Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung vom Grad ${}n$. Die Galoisgruppe, d.h. die Gruppe der ${}K$-Algebraautomorphismen von ${}L$, besteht also aus ${}n$ Automorphismen. Die Untergruppen der Galoisgruppe entsprechen nach dem Satz über die Galoiskorrespondenz den Zwischenkörpern der Erweiterung. Die Galoisgruppe operiert nach Fakt auch auf dem ganzen Abschluss ${}S$ von ${}R$ in ${}L$. Hier besprechen wir Untergruppen, ihre zugehörigen Zwischenkörper und Zwischenringe, die mit dem Zerlegungsverhalten von Primidealen unter der Erweiterung ${}R\subseteq S$ zusammenhängen. Zuerst formulieren wir, wie sich die fundamentale Gleichung aus Fakt im Galoisfall vereinfacht.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Primideal von ${}R$.

Dann stimmen in der Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$

die Exponenten ${}e_{i}$ überein und ebenso stimmen die Trägheitsgrade ${}f_{i}$ überein. Dabei ist

${}n=kef\,.$

Beweis

Es seien ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}{\mathfrak {q}}'$ Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$. Nach Fakt gibt es einen Automorphismus ${}\sigma \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ mit ${}\sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$. Daher gibt es einen ${}R_{\mathfrak {p}}$-Algebraisomorphismus ${}\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\rightarrow S_{{\mathfrak {q}}'}$, weshalb die Verzweigungsordnungen gleich sind, und einen ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Isomorphismus der Restekörper

$\kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}'),$

weshalb die Trägheitsgrade gleich sind. Die Formel aus Fakt nimmt daher die angegebene Gestalt an.

$\Box$

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal aus ${}R$ und seien ${}{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}$ die Primideale von ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$. Gemäß Fakt und wie eben verwendet lassen sich diese Primideale ineinander mit isomorphen Restekörpern überführen. Dies bedeutet natürlich nicht, dass der Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,({\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k})$

bijektiv ist, wobei rechts die Permutationsgruppe zur Faser über ${}{\mathfrak {p}}$ steht. Dabei ist die Bijektivität oft schon wegen der Anzahl ausgeschlossen. Wenn der Grad ${}n$ ist, und wenn, im total zerlegten Fall, die Faser aus ${}n$ Primidealen besteht, so steht links (im Galoisfall) eine Gruppe mit ${}n$ Elementen und rechts eine Gruppe mit ${}n!$ Elementen, was nur bei ${}n\leq 2$ übereinstimmt. Wenn hingegen, im unzerlegten Fall, die Faser aus nur einem Primideal besteht, so steht rechts die triviale Gruppe. Ein Automorphismus ${}\sigma \in G$ gehört genau dann zum Kern, wenn jedes Primideal der Faser unter ${}\sigma$ auf sich selbst abgebildet wird. Diese Bedingung führt, auf ein einzelnes Primideal angewendet, zum Begriff der Zerlegungsgruppe.

Definition

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$. Dann nennt man

${}G_{\mathfrak {q}}={\left\{\sigma \in G\mid \sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}\right\}}\,$

die Zerlegungsgruppe zu ${}{\mathfrak {q}}$.

Man spricht auch von der Isotropiegruppe oder dem Stabilisator zu ${}{\mathfrak {q}}$. Man beachte, dass die Bedingung besagt, dass ${}{\mathfrak {q}}$ auf sich selbst abgebildet wird, nicht, dass die Einschränkung auf ${}{\mathfrak {q}}$ die Identität ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau dann trivial, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ voll zerlegt ist.
2. Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau gleich ${}G$, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ unzerlegt ist.
3. Zu einem weiteren Primideal ${}{\mathfrak {q}}'$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ sind die Zerlegungsgruppen ${}G_{\mathfrak {q}}$ und ${}G_{{\mathfrak {q}}'}$ isomorph.
4. Es ist

   ${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=ef\,,$

   wobei ${}e$ der gemeinsame Verzweigungsindex und ${}f$ der gemeinsame Trägheitsgrad der Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ ist.

Beweis

(1) und (2) sind klar und folgen auch aus (4).

(3). Nach Fakt gibt es ein ${}\tau \in G$ mit ${}\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$. Mittels ${}\tau$ kann man direkt den Isomorphismus

$G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow G_{{\mathfrak {q}}'},\,\sigma \longmapsto \tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1},$

angeben. Es ist ja

${}{\left(\tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1}\right)}({\mathfrak {q}}')=\tau (\sigma (\tau ^{-1}({\mathfrak {q}}')))=\tau (\sigma ({\mathfrak {q}}))=\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\,.$

(4). Wir zerlegen ${}G$ abhängig davon, auf welches Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ abgebildet wird, also

${}G=\biguplus _{{\mathfrak {q}}'}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}\,.$

Dabei ist die Untergruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ein Teil davon und die anderen Teile sind die Nebenklassen zu dieser Untergruppe, da ja

${}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}=\tau G_{\mathfrak {q}}\,,$

wenn ${}\tau$ ein fixierter Automorphismus ist, der ${}{\mathfrak {q}}$ in ${}{\mathfrak {q}}'$ überführt. Insbesondere sind diese Nebenklassen alle gleich groß. Wenn es ${}k$ Primideale in der Faser gibt, und die Körpererweiterung den Grad ${}n$ hat und die Galoisgruppe somit ${}n$ Elemente besitzt, so enthält die Zerlegungsgruppe ${}{\frac {n}{k}}$ Elemente, was nach Fakt mit ${}ef$ übereinstimmt.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ den Zerlegungskörper zu ${}{\mathfrak {q}}$. Er wird mit ${}Z_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.

Den Ganzheitsring zum Zerlegungskörper nennt man Zerlegungsring.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   $G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}})).$

2. Wenn die Erweiterung der Restekörper separabel ist, so handelt es sich bereits um eine Galoiserweiterung, und der Gruppenhomomorphismus ist surjektiv.
3. Wenn ${}{\mathfrak {q}}$ zusätzlich unverzweigt ist, so liegt ein Isomorphismus vor.

Beweis

1. Sei ${}\sigma \in G_{\mathfrak {q}}$, also ${}\sigma ^{-1}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}$. Dies induziert einen Ringautomorphismus (der ${}R$ fest lässt)

   $\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{\mathfrak {q}}$

   und einen Körperautomorphismus

   $\sigma \colon \kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}),$

   der ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ fest lässt, also ein Element der Galoisgruppe zur Körpererweiterung ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$. Diese Zuordnung ist insgesamt ein Gruppenhomomorphismus aufgrund der Kommutativität des Diagramms

   ${\begin{matrix}S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

2. Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, indem wir ${}K$ durch den Zerlegungskörper und ${}{\mathfrak {p}}$ durch den Schnitt von ${}{\mathfrak {q}}$ mit dem Zerlegungsring ersetzen, dass die Zerlegungsgruppe die volle Galoisgruppe ist, dass also ${}{\mathfrak {q}}$ das einzige Primideal oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ ist. Aufgrund der Voraussetzung über die Separabilität können wir nach dem Satz vom primitiven Element

   ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\,$

   ansetzen, wobei wir unmittelbar ${}z\in S$ annehmen können. Es sei ${}P\in R[X]$ das Minimalpolynom von ${}z$ über ${}R$. Es ist also ${}P(z)=0$ in ${}S$ und damit insbesondere ${}P(z)=0$ in ${}\kappa ({\mathfrak {q}})$. Da ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist, zerfällt wegen Fakt ${}P$ in ${}L[X]$ und damit wegen Fakt auch in ${}S[X]$ in Linearfaktoren. Dies gilt dann auch in ${}\kappa ({\mathfrak {q}})[X]$ und überträgt sich auf das Minimalpolynom von ${}z$ über ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$, was wiederum nach Fakt bedeutet, dass die Restekörpererweiterung galoissch ist.

   Es sei nun

   $\tau \colon \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]$

   ein ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Körperautomorphismus, der den Erzeuger ${}z$ auf ein Element ${}w\in \kappa ({\mathfrak {q}})$ schickt, das wir wiederum als repräsentiert durch eine Nullstelle ${}w$ von ${}P$ annehmen dürfen. Nach Fakt gehört dazu ein ${}K$-Automorphismus von ${}L$, der ${}z$ in ${}w$ überführt, und dessen Einschränkung stimmt mit ${}\tau$ überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt.

3. Nach Fakt  (4) ist im unverzweigten Fall ${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=f$ und dies ist nach Definition der Grad der Körpererweiterung

   ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})\,.$

   Da nach (2) die Restekörpererweiterung galoissch ist, besitzt deren Galoisgruppe ebenfalls ${}f$ Elemente und deshalb folgt aus der Surjektivität bereits die Bijektivität.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$. Dann nennt man

${}I_{\mathfrak {q}}={\left\{\sigma \in G_{\mathfrak {q}}\mid \sigma {|}_{\kappa ({\mathfrak {q}})}=\operatorname {Id} \right\}}\,$

die Trägheitsgruppe zu ${}{\mathfrak {q}}$.

Es liegt also eine Kette von Untergruppen

${}I_{\mathfrak {q}}\subseteq G_{\mathfrak {q}}\subseteq G\,$

vor.

Definition

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Trägheitsgruppe ${}I_{\mathfrak {q}}$ den Trägheitskörper zu ${}{\mathfrak {q}}$. Er wird mit ${}T_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$. Die Erweiterung der Restekörper sei separabel.

Dann ist die Ordnung der Trägheitsgruppe ${}I_{\mathfrak {q}}$ gleich dem Verzweigungsindex von ${}{\mathfrak {q}}$.

Insbesondere ist die Trägheitsgruppe genau dann trivial, wenn in ${}{\mathfrak {q}}$ keine Verzweigung vorliegt.

Beweis

Nach Fakt  (2) liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I_{\mathfrak {q}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G_{\mathfrak {q}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Die Ordnung der Galoisgruppe rechts ist der Trägheitsgrad ${}f$ und die Ordnung der Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist nach Fakt gleich ${}ef$, wobei ${}e$ den Verzweigungsindex bezeichnet. Deshalb ist die Ordnung der Trägheitsgruppe gleich ${}e$.

$\Box$