(1) und (2) sind klar und folgen auch aus (4).
(3). Nach
Fakt
gibt es ein
mit
.
Mittels kann man direkt den Isomorphismus
-
angeben. Es ist ja
-
(4). Wir zerlegen abhängig davon, auf welches Primideal abgebildet wird, also
-
Dabei ist die Untergruppe ein Teil davon und die anderen Teile sind die
Nebenklassen
zu dieser Untergruppe, da ja
-
wenn ein fixierter Automorphismus ist, der in überführt. Insbesondere sind diese Nebenklassen alle gleich groß. Wenn es Primideale in der Faser gibt, und die Körpererweiterung den Grad hat und die Galoisgruppe somit Elemente besitzt, so enthält die Zerlegungsgruppe Elemente, was nach
Fakt
mit übereinstimmt.