Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt/Beweis

Beweis

Induktion über ${}n$. Für ${}n=1$ ist ${}\Phi _{1}=X-1\in \mathbb {Z} [X]$. Für beliebiges ${}n$ betrachten wir die in Fakt bewiesene Darstellung

${}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}={\left(\prod _{d{|}n,\,d\neq n}\Phi _{d}\right)}\cdot \Phi _{n}\,.$

Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in ${}\mathbb {Z}$. Daraus folgt mit Aufgabe, dass auch ${}\Phi _{n}$ Koeffizienten in ${}\mathbb {Z}$ besitzt.

Zur bewiesenen Aussage