Kreisteilungsring/5/Faktorialitätsschranke/Beispiel

Wir wollen zeigen, dass der fünfte Kreisteilungsring

${}R_{5}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,$

faktoriell ist. Es gibt vier komplexe Einbettungen und die Diskriminante ist nach Fakt gleich ${}\pm 125$. Wegen

${}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2}{\sqrt {125}}<5\,$

ist nach Fakt nur zu überprüfen, ob die Primzahlen ${}p=2,3$ in ${}R_{5}$ eine Primfaktorzerlegung besitzen. Da ${}\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$ und ${}\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$ Körper sind (vergleiche Fakt), sind ${}2$ und ${}3$ sogar Primelemente in ${}R_{5}$.