Kreisteilungsring/9/Kähler-Differentiale/Relative Sequenz/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Sequenz

$\Omega _{R_{3}{|}\mathbb {Z} }\otimes _{R_{3}}R_{9}\longrightarrow \Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }\longrightarrow \Omega _{R_{9}{|}R_{3}}\longrightarrow 0$

von ${}R_{9}$-Moduln. Dabei bestehen, mit ${}R_{3}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}$ und

${}R_{9}=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1\right)}=R_{3}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}\,,$

die Beschreibungen

${}\Omega _{R_{3}{|}\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} /(3)dX\,$

nach Beispiel,

${}\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} /(9)[Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1,3Y^{3}-3\right)}dY\,$

nach Aufgabe und

${}\Omega _{R_{9}{|}R_{3}}={\left(\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\right)}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}dY\,$

nach Aufgabe. Unter der Abbildung rechts wird ein Element

${\left(a+bY+cY^{2}+dY^{3}+eY^{4}+fY^{5}\right)}dY$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z} /(9)$, ${}e,f,g\in \{0,1,2\}$ (und mit ${}3Y^{3}dY=3dY$) auf

${}{\begin{aligned}{\left(a+bY+cY^{2}+dY^{3}+eY^{4}+fY^{5}\right)}dY&={\left(a+bY+cY^{2}+dX+eXY+fXY^{2}\right)}dY\\&={\left(a+dX+{\left(b+eX\right)}Y+{\left(c+fX\right)}Y^{2}\right)}dY\end{aligned}}$

abgebildet, wobei ${}a,b,c$ modulo ${}3$ genommen werden muss. Der Kern ist

${\left\{{\left(a+bY+cY^{2}\right)}dY\mid a,b,c=0,3,6\right\}}.$

Die Abbildung links ist durch ${}dX\mapsto dX=dY^{3}=3Y^{2}dY$ gegeben. Der von diesem Bild erzeugte ${}R_{9}$-Untermodul in ${}\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }$ (das ist das Bild der Tensorierung)

ist der von ${}3Y^{2}dY,3Y^{3}dY=3dY,3Y^{4}=3YdY$ erzeugte ${}\mathbb {Z}$-Untermodul. Dies stimmt mit dem Kern überein, und in der relativen Differentialseqeunz ist auch die linke Abbildung injektiv.

Zur gelösten Aufgabe