Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}R$ der ${}p$-te Kreisteilungsring, also

${}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$

nach Fakt. Nach Fakt ist der Modul der Kähler-Differentiale gleich

${}{\begin{aligned}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }&\cong R/{\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-2}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}\\&\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1,(p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}.\end{aligned}}$

Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da ${}X^{p}-1$ zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja

${}X^{p}-1=(X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$

und somit

${}{\begin{aligned}pX^{p-1}dX&=d{\left(X^{p}-1\right)}\\&=d{\left((X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\right)}\\&={\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}dX+(X-1){\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}dX.\end{aligned}}$

Damit ist insbesondere

${}pdX=0\,$

in ${}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }$, da ja ${}X$ eine Einheit ist. Somit ist der Kählermodul ein ${}R_{p}/pR_{p}$-Modul und insbesondere ein ${}\mathbb {Z} /(p)$-Modul. Daher und wegen Fakt ist

${}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\Omega _{R_{p}/pR_{p}{|}\mathbb {Z} /(p)}\,.$

Da der Faserring über ${}p$ die Form

${}R_{p}/pR_{p}=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left((X-1)^{p-1}\right)}=\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}\,$

besitzt, ist wegen ${}{\left(Y^{p-1}\right)}'=-Y^{p-2}$ insgesamt

${}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}{|}\mathbb {Z} /(p)}\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-2}\right)}\,.$

Dies ist ein freier ${}\mathbb {Z} /(p)$-Modul mit der (in ${}X$ geschriebenen) Basis ${}dX,XdX,\ldots ,X^{p-3}dX$ (also vom Rang ${}p-2$).