Kreisteilungsring/n/Primzahl/Unzerlegt/Fakt

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$-te Kreisteilungsring und es sei ${}q$ eine Primzahl, die kein Teiler von ${}n$ sei. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Das Element ${}q$ erzeugt die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(n)$.
2. Über ${}(q)$ liegt ein Primideal in ${}R_{n}$, d.h. ${}(q)$ ist unzerlegt im Kreisteilungsring.
3. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ ist irreduzibel über ${}\mathbb {Z} /(q)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen