Krullscher Durchschnittssatz/Elementformulierung/Fakt

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Dann sind für ${}v\in M$ folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}v\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M$.
2. Es gibt ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit ${}(1-f)v=0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen