Krullscher Durchschnittssatz/Elementformulierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten den ${}R$-Untermodul

${}N=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M\subseteq M\,.$

Für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ gilt

${}N={\mathfrak {a}}^{n}M\cap N\,.$

Wir können das Lemma von Artin-Rees anwenden und erhalten für ${}n$ hinreichend groß

${}N={\mathfrak {a}}^{n}M\cap N={\mathfrak {a}}^{1}({\mathfrak {a}}^{n-1}M\cap N)={\mathfrak {a}}N\,.$

In dieser Situation können wir das Lemma von Nakayama anwenden und erhalten die Existenz eines ${}f\in {\mathfrak {a}}$ derart, dass ${}1-f$ den Modul ${}N$ annulliert. Jedes Element aus ${}N$ wird also von ${}1-f$ annulliert. Wenn es umgekehrt zu ${}v\in M$ ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit

${}(1-f)v=0\,$

gibt, so ist

${}v=1v=fv=ffv=fffv=\ldots \,,$

also ${}v\in {\mathfrak {a}}^{n}M$ für alle ${}n$.

Zur bewiesenen Aussage