Kubische Kurve/Kurze Weierstraßform/Transformation/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}\,.$

Wenn man für ${}x$ den Term ${}rx'+sy'$ einsetzt, so entsteht bei ${}s\neq 0$ ein ${}y'^{3}$-Term, den man durch eine Substitution

${}y=tx'+uy'\,$

nicht wegbekommt. Also muss ${}s=0$ sein. Damit muss auch ${}t=0$ sein, da andernfalls ein ${}x'^{2}$-Term entsteht. Es sei also ${}x=rx'$ und ${}y=uy'$, was auf die neue Gleichung

${}u^{2}y'^{2}=r^{3}x'^{3}+arx'+b\,$

führt. Damit man diese sowohl in ${}x'$ als auch in ${}y'$ normieren kann, muss

${}u^{2}=r^{3}\,$

sein. Dies ist nach Aufgabe genau dann der Fall, wenn es ein ${}c\in K^{\times }$ mit ${}u=c^{3}$, ${}r=c^{2}$ gibt. Die Normierung wird dann mittels Division durch ${}c^{6}$ durchgeführt, was auf ${}a'=ac^{2}/c^{6}=ac^{-4}$ und ${}b'=b/c^{6}=bc^{-6}$ führt.

Zur bewiesenen Aussage