Kubische Wurzel/Kubikzahlen/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.$

Man gebe auch eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ an.

b) Zeige, dass in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ alle Elemente der Form ${}m^{3}p$ und ${}n^{3}p^{2}$ mit ${}m,n\in \mathbb {Q}$ eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl ${}x\in \mathbb {Q}$ besitze in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass ${}x$ die Form

$x=k^{3}{\text{ oder }}x=m^{3}p{\text{ oder }}x=n^{3}p^{2}$

mit ${}k,m,n\in \mathbb {Q}$ besitzt.

d) Es sei nun ${}q$ eine weitere, von ${}p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.$

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