Kubische Wurzel/Kubikzahlen/Aufgabe/Lösung

a) Wegen ${}{\sqrt[{3}]{p}}\notin \mathbb {Q}$ besitzt das Polynom ${}X^{3}-p$ keine Nullstelle in ${}\mathbb {Q}$. Daher ist es nach Fakt irreduzibel und somit ist ${}X^{3}-p$ nach Fakt das Minimalpolynom und somit besitzt die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,$

den Grad ${}3$. Eine ${}\mathbb {Q}$-Basis ist durch ${}1,{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{p}}^{2}$ gegeben.

b) Es ist

${}(m{\sqrt[{3}]{p}})^{3}=m^{3}p\,$

und

${}(n({\sqrt[{3}]{p}})^{2})^{3}=n^{3}p^{2}\,.$

c) Eine dritte Potenz in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ besitzt die Form ${}y^{3}$ mit ${}y\in \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$. Sei

${}y=a+b{\sqrt[{3}]{p}}+c{\sqrt[{3}]{p}}^{2}=a+bp^{1/3}+cp^{2/3}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$. Dann ist

${}y^{3}=r+sp^{1/3}+tp^{2/3}\,$

mit

${}r=a^{3}+b^{3}p+c^{3}p^{2}+6abcp\,,$

${}s=3a^{2}b+3b^{2}cp+3ac^{2}p\,$

und

${}t=3a^{2}c+3ab^{2}+3bc^{2}p\,.$

Wegen ${}y^{3}\in \mathbb {Q}$ müssen die beiden hinteren Komponenten ${}0$ sein, also

${}s=t=0\,.$

Daher ist auch

${}0=bs-at=3b^{3}cp-3a^{3}c=3c(b^{3}p-a^{3})\,.$

Es sei zuerst der hintere Faktor ${}0$. Bei ${}b\neq 0$ müsste

${}p={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{3}\,$

sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist ${}b=0$ und damit auch ${}a=0$.

Es sei nun

${}c=0\,.$

Wegen ${}s=0$ folgt daraus ${}a=0$ oder ${}b=0$. In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten ${}a,b,c$ gleich ${}0$. Die zugehörigen dritten Potenzen sind

$a^{3},b^{3}p,c^{3}p^{2}$

und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.

d) Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.$

Nach Teil b) ist ${}{\sqrt[{3}]{q}}\notin \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$. Somit ist ${}X^{3}-q$ irreduzibel über ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}][{\sqrt[{3}]{q}}]\,$

den Grad ${}3$. Nach der Gradformel besitzt die Gesamterweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}][{\sqrt[{3}]{q}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,$

den Grad

${}3\cdot 3=9$.

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