Kubisches Polynom/Bijektiv/Umkehrfunktion/Ableitung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)=3x^{2}+5\,.$

   Dies ist überall positiv und damit ist ${}f$ nach Fakt streng wachsend und damit injektiv. Da ein Polynom ungeraden Grades voliegt ist ${}f$ aufgrund des Zwischenwertsatzes auch surjektiv.

2. Nach Fakt ist

   ${}{\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}\,.$

   Somit ist insbesondere

   ${}{\left(f^{-1}\right)}'(0)={\frac {1}{f'(f^{-1}(0))}}={\frac {1}{f'(0)}}={\frac {1}{5}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe