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Kubisches Polynom/Legendre/Einsetzungen/Aufgabe/Lösung
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Kubisches Polynom/Legendre/Einsetzungen/Aufgabe
Es ist
F
(
1
−
λ
)
=
(
(
1
−
λ
)
2
−
(
1
−
λ
)
+
1
)
3
(
1
−
λ
)
2
(
(
1
−
λ
)
−
1
)
2
=
(
(
1
−
λ
)
2
+
λ
)
3
(
λ
−
1
)
2
λ
2
=
(
1
−
λ
+
λ
2
)
3
(
λ
−
1
)
2
λ
2
=
F
(
λ
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}F(1-\lambda )&={\frac {((1-\lambda )^{2}-(1-\lambda )+1)^{3}}{(1-\lambda )^{2}((1-\lambda )-1)^{2}}}\\&={\frac {((1-\lambda )^{2}+\lambda )^{3}}{(\lambda -1)^{2}\lambda ^{2}}}\\&={\frac {(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{(\lambda -1)^{2}\lambda ^{2}}}\\&=F(\lambda ).\end{aligned}}}
Es ist (Erweiterung mit
λ
6
{\displaystyle {}\lambda ^{6}}
)
F
(
1
λ
)
=
(
(
1
λ
)
2
−
(
1
λ
)
+
1
)
3
(
1
λ
)
2
(
(
1
λ
)
−
1
)
2
=
(
1
−
λ
+
λ
2
)
3
λ
2
(
1
−
λ
)
2
=
F
(
λ
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}F({\frac {1}{\lambda }})&={\frac {(({\frac {1}{\lambda }})^{2}-({\frac {1}{\lambda }})+1)^{3}}{({\frac {1}{\lambda }})^{2}(({\frac {1}{\lambda }})-1)^{2}}}\\&={\frac {(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\\&=F(\lambda ).\end{aligned}}}
Aufgrund der ersten beiden Teile ist
F
(
1
1
−
λ
)
=
F
(
1
−
λ
)
=
F
(
λ
)
{\displaystyle {}F({\frac {1}{1-\lambda }})=F(1-\lambda )=F(\lambda )\,}
und
F
(
λ
−
1
λ
)
=
F
(
1
−
1
λ
)
=
F
(
1
λ
)
=
F
(
λ
)
{\displaystyle {}F({\frac {\lambda -1}{\lambda }})=F(1-{\frac {1}{\lambda }})=F({\frac {1}{\lambda }})=F(\lambda )\,}
und schließlich
F
(
λ
λ
−
1
)
=
F
(
λ
−
1
λ
)
=
F
(
λ
)
.
{\displaystyle {}F({\frac {\lambda }{\lambda -1}})=F({\frac {\lambda -1}{\lambda }})=F(\lambda )\,.}
Zur gelösten Aufgabe