Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Erweiterung normal/Bezug/Beispiel

Das Polynom ${}X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel nach Aufgabe und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Nach Aufgabe sind auch die Elemente aus ${}L$

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über ${}L$. Daher ist die Körpererweiterung normal nach Fakt  (3).