Kurs:Algebraische Kurven/10/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {homogene Zerlegung} {}
zu einem Polynom
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}{Ein \stichwort {zusammenhängender} {} topologischer Raum $X$.
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt in einer offenen Menge $U$ im
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
von $R$. Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb A}^{1}_{K} = K
} {}
eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion \stichwort {algebraisch} {} ist?
}{Die Führungszahl zu einem numerischen Monoid $M$.
}{Die \stichwort {Ordnung} {} zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} $R$.
}{Das
\stichwort {projektive Nullstellengebilde} {}
zu einem homogenen Polynom
\mathl{F \in K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.}{Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.}{Potenreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises $E$ mit dem Kreis $K$, der den Mittelpunkt $(1,0)$ und den Radius $2$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
Es sei $C \subseteq \R^3$ das \definitionsverweis {Bild}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} {\R} {\R^3 } {t} { \left( t , \, \cos t , \, \sin t \right) = \left( x , \, y , \, z \right) } {.} \aufzaehlungzwei {Erfüllt $C$ eine algebraische Gleichung? } {Ist $C$ eine algebraische Kurve? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+1+2)}
{
Wir betrachten die Varietät der kommutierenden
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,}
also die Menge der Matrizenpaare
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { { \left\{ (A,B) \mid A,B \in \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) , \, AB = BA \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) \times \operatorname{Mat}_{ 2 } (K)
}
{ \cong} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 8 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {affine Varietät}{}{}
ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
}{Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\pi} {V} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K)
} {(A,B)} { A
} {,}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}{Bestimme das Urbild von
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{} unter $\pi$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{p \in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
Zeige, dass $p$ auch im Polynomring
\mathl{R[X]}{} prim ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { X^4+9X^3Y+7X^2Y^2+XY^3+8Y^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {X^3 +5X^2Y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
\mathl{Q,R \in \Q[X,Y]}{,}
\mathl{Q \neq 0}{,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {GQ+R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung \maabbdisp {} {{\mathbb A}^{2}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {} derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V , \tilde{V}
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra, sei ${\mathfrak a} \subseteq R$ ein Ideal und sei $X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }$. In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen
\mathdisp {V( {\mathfrak a}) = \emptyset \text{ und } {\mathfrak a} \text{ ist das Einheitsideal}} { }
und die beiden Aussagen
\mathdisp {V( {\mathfrak a}) = X \text{ und } {\mathfrak a} \text{ ist nilpotent}} { }
zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob $K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Satz über den globalen Schnittring eines $K$-Spektrums.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {\varphi} {V(Z^2+W^2-1)} { V(X^2+Y^2-1)
} {(Z,W)} { ( Z^2 - W^2 , 2ZW ) = (X,Y)
} {.}
ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt
\mathl{P \in V(X^2+Y^2-1)}{} aus zwei Punkten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Wir betrachten das Nullstellengebilde
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(Y^2-X^4)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Ist $C$ irreduzibel?
}{Kann man den Koordinatenring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(Y^2-X^4)}{} als Monoidring erhalten?
}{Kann man den Koordinatenring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(Y^2-X^4)}{} als Monoidring zu einem Untermonoid
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \N \times \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhalten?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
und die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
\zusatzklammer {mit ihrer
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}} {} {}
der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( X^2+5Y^2+3X^2Y-7XY^2+11X^9 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mathdisp {} { }
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass formales
\definitionsverweis {partielles Ableiten}{}{}
auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} bezüglich einer Variablen und
\definitionsverweis {Dehomogenisieren}{}{}
bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
} {Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Betrachte die affine ebene Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( Y-X^3+X+2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Definiere einen Isomorphismus zwischen $C$ und der affinen Geraden ${\mathbb A}^{1}_{K}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${\mathbb P}^{1}_{K}$ und dem
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
$\bar{C} \subset {\mathbb P}^{2}_{K}$ fortsetzen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{K} \times {\mathbb P}^{1}_{K}}{} und die
\definitionsverweis {projektive Ebene}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} nicht zueinander isomorph sind.
}
{} {}