Kurs:Algebraische Kurven/10/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	6	5	3	4	3	5	8	5	4	2	3	4	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die homogene Zerlegung zu einem Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
2. Ein zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.
3. Sei ${}P\in U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt in einer offenen Menge ${}U$ im ${}K$- Spektrum von ${}R$. Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?
4. Die Führungszahl zu einem numerischen Monoid ${}M$.
5. Die Ordnung zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring ${}R$.
6. Das projektive Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.
2. Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.
3. Potenreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${}E$ mit dem Kreis ${}K$, der den Mittelpunkt ${}(1,0)$ und den Radius ${}2$ besitzt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}C\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ das Bild der Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t,\,\cos t,\,\sin t\right)=\left(x,\,y,\,z\right).$

1. Erfüllt ${}C$ eine algebraische Gleichung?
2. Ist ${}C$ eine algebraische Kurve?

Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden ${}2\times 2$- Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare

${}V={\left\{(A,B)\mid A,B\in \operatorname {Mat} _{2}(K),\,AB=BA\right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(K)\times \operatorname {Mat} _{2}(K)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{8}}\,.$

1. Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
2. Zeige, dass die Abbildung

   $\pi \colon V\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,(A,B)\longmapsto A,$

   surjektiv ist.

3. Bestimme das Urbild von ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$ unter ${}\pi$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass ${}p$ auch im Polynomring ${}R[X]$ prim ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

${}F=X^{4}+9X^{3}Y+7X^{2}Y^{2}+XY^{3}+8Y^{4}\,$

und

${}G=X^{3}+5X^{2}Y\,.$

Finde homogene Polynome ${}Q,R\in \mathbb {Q} [X,Y]$, ${}Q\neq 0$, mit

${}F=GQ+R\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra, sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

$V({\mathfrak {a}})=\emptyset {\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist das Einheitsideal}}$

und die beiden Aussagen

$V({\mathfrak {a}})=X{\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist nilpotent}}$

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über den globalen Schnittring eines ${}K$-Spektrums.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass durch

$\varphi \colon V(Z^{2}+W^{2}-1)\longrightarrow V(X^{2}+Y^{2}-1),\,(Z,W)\longmapsto (Z^{2}-W^{2},2ZW)=(X,Y).$

ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt ${}P\in V(X^{2}+Y^{2}-1)$ aus zwei Punkten besteht.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten das Nullstellengebilde

${}C=V(Y^{2}-X^{4})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

1. Ist ${}C$ irreduzibel?
2. Kann man den Koordinatenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]/(Y^{2}-X^{4})$ als Monoidring erhalten?
3. Kann man den Koordinatenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]/(Y^{2}-X^{4})$ als Monoidring zu einem Untermonoid ${}M\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)$ erhalten?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (mit ihrer Multiplizität) der Kurve

${}V{\left(X^{2}+5Y^{2}+3X^{2}Y-7XY^{2}+11X^{9}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

${\displaystyle }$

im Nullpunkt.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

1. Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
2. Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

${}C=V{\left(Y-X^{3}+X+2\right)}\,.$

Definiere einen Isomorphismus zwischen ${}C$ und der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und dem projektiven Abschluss ${}{\bar {C}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ fortsetzen?

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass der Produktraum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und die projektive Ebene ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ nicht zueinander isomorph sind.