Kurs:Algebraische Kurven/11/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 12 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 50 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Radikal} {} zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Ein \stichwort {Kegelschnitt} {.}
}{Die \stichwort {Lokalisierung} {} eines kommutativen Ringes $R$ an einem \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$.
}{Die \stichwort {Normalisierung} {} zu einem kommutativen Monoid $M$.
}{Die
\stichwort {Homogenisierung} {}
zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {projektive} {} Varietät. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt die Menge
\mathdisp {{ \left\{ f \in R \mid \text{es gibt ein } r \text{ mit } f^r \in {\mathfrak a} \right\} }} { }
das Radikal zu ${\mathfrak a}$.
}{Ein Kegelschnitt $C$ ist der Durchschnitt des Standardkegels
\mathl{V(Z^2-X^2-Y^2)}{} mit einer affinen Ebene
\mathl{V(aX+bY+cZ+d )}{}
\zusatzklammer {nicht alle \mathlk{a,b,c=0}{}} {} {,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(Z^2-X^2-Y^2) \cap V(aX+bY+cZ+d)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man nennt die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R \setminus {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak p}$.
}{Das Untermonoid
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{M}
}
{ =} { { \left\{ m \in \Gamma(M) \mid \text{ es gibt } r \in \N_+ \text{ mit } rm \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die Normalisierung von $M$.
}{Das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{,} das von allen
\definitionsverweis {Homogenisierungen}{}{}
von Elementen aus ${\mathfrak a}$ erzeugt wird, heißt die Homogenisierung von ${\mathfrak a}$.
}{Eine
\definitionsverweis {Zariski-abgeschlossene}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_+({\mathfrak a})
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]}{} ist, heißt projektive Varietät.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.}{Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.}{Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und seien $R$ und $S$ kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung
\maabbeledisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {P} { P \circ \varphi
} {.}
Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.}{Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ ein kommutatives Monoid. Es sei $B$ eine kommutative $R$-Algebra und
\maabbdisp {\varphi} {M} {B
} {}
ein Monoidhomomorphismus
\zusatzklammer {bezüglich der multiplikativen Struktur von $B$} {} {.}
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R [M]} { B
} {}
derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}M & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R[M] & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & B
& \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.}{Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathl{F \in K[X,Y]}{} nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(a,b)
}
{ \in }{C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{(X-a,Y-b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit lokalem Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ (K[X,Y]_{\mathfrak m})/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungvier{$P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
}{Die Multiplizität von $P$ ist eins.
}{$R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
}{$R$ ist ein normaler Integritätsbereich.
}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{
\aufzaehlungdrei{Ist das \definitionsverweis {Bild}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} { \left( e^t , \, e^t \right) } {,} eine \definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{?} }{Ist das Bild der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}^2 } {z} { \left( e^z , \, e^z \right) } {,} eine algebraische Kurve? }{Ist das Bild der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}^2 } {z} { \left( e^z , \, e^z \right) } {,} \anfuehrung{isomorph}{} zu einer algebraischen Kurve? }
}
{
\aufzaehlungdrei{Das Bild ist die Menge
\mathdisp {{ \left\{ (x,x) \mid x \in \R_+ \right\} }} { . }
Der Durchschnitt mit der vollen Diagonalen
\mathl{{ \left\{ (x,x) \mid x \in \R \right\} }}{} besitzt unendlich viele Punkte, ist aber nicht die volle gerade, also ist das Bild nach
Lemma 1.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
keine ebene algebraische Kurve.
}{Das Bild ist die Menge
\mathdisp {{ \left\{ (x,x) \mid x \in {\mathbb C} \setminus \{0\} \right\} }} { . }
Somit ist wie in (1) keine ebene algebraische Kurve.
}{Nach (2) ist das Bild gleich ${\mathbb C} \setminus \{0\}$, dies ist isomorph zur komplexen Hyperbel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(XY-1)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von
\mathl{V(X^2+Y^2-1)}{} und
\mathl{V(Y-2X^2+2)}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}}{.}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y
}
{ =} {2X^2-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in die Kreisgleichung ein und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0
}
{ =} { X^2 +Y^2-1
}
{ =} { X^2 + { \left( 2X^2-2 \right) }^2 -1
}
{ =} { X^2+ 4X^4 -8X^2 +4 -1
}
{ =} { 4X^4 -7X^2 +3
}
}
{}
{}{.}
Dies führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^4 - { \frac{ 7 }{ 4 } } X^2 + { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( X^2- { \frac{ 7 }{ 8 } } \right) }^2 - { \frac{ 49 }{ 64 } } + { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^2
}
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ 49 }{ 64 } } -{ \frac{ 3 }{ 4 } } } + { \frac{ 7 }{ 8 } }
}
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ 49 }{ 64 } } -{ \frac{ 48 }{ 64 } } } + { \frac{ 7 }{ 8 } }
}
{ =} { \pm { \frac{ 1 }{ 8 } } + { \frac{ 7 }{ 8 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { 1,-1, { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } , - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Inklusion
\mathl{T \subseteq V( \operatorname{Id} \,(T) )}{} wurde in
Lemma 3.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) (1)
gezeigt. Da
\mathl{V( \operatorname{Id} \,(T))}{} nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus
\mathl{\overline{T} \subseteq V( \operatorname{Id} \,(T))}{.}
Es sei umgekehrt
\mathl{P \in V( \operatorname{Id} \,(T))}{} und sei
\mathl{P \not \in \overline{T}}{} angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge $U$ gibt mit
\mathl{P \in U}{} und
\mathl{U \cap T = \emptyset}{.} Es sei
\mathl{U=D(\mathfrak a)}{.} Die Bedingung
\mathl{P \in U}{} bedeutet, dass es ein
\mathl{G \in \mathfrak a}{} geben muss mit
\mathl{G(P) \neq 0}{.} Es ist dann
\mathl{P \in D(G) \subseteq U}{} und damit
\mathl{T \cap D(G) = \emptyset}{.} Also ist
\mathl{T \subseteq V(G)}{} und somit
\mathl{G \in \operatorname{Id} \,(T)}{.} Wegen
\mathl{G(P) \neq 0}{} ergibt sich ein Widerspruch zu
\mathl{P \in V( \operatorname{Id} \,(T))}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{12 (3+5+3+1)}
{
Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktring}{}{.}
\aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist.
}{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Idealen
\mathl{I_j \subseteq R_j}{} besitzt.
}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind.
}{Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{}
ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind.
}
}
{
\aufzaehlungvier{Wegen
\mathdisp {0= (0,0 , \ldots , 0) \in I} { }
ist $I$ nicht leer. Für zwei Elemente
\mathkor {} {a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n)} {und} {b=(b_1,b_2 , \ldots , b_n)} {}
aus $I$ ist jeweils
\mathl{a_j, b_j \in I_j}{.} Daher ist stets
\mathl{a_j +b_j \in I}{} und somit gehört
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b
}
{ =} {(a_1,a_2 , \ldots , a_n) + (b_1,b_2 , \ldots , b_n)
}
{ =} {(a_1+b_1,a_2+b_2 , \ldots , a_n + b_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zum Ideal. Für
\mathdisp {a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I} { }
und
\mathdisp {r= (r_1,r_2 , \ldots , r_n) \in R} { }
ist jeweils
\mathl{a_j \in I_j}{} und daher
\mathl{r_ja_j \in I_j}{.} Somit gehört
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ra
}
{ =} {(r_1,r_2 , \ldots , r_n) (a_1,a_2 , \ldots , a_n)
}
{ =} { (r_1a_1,r_2 a_2 , \ldots , r_na_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu $I$.
}{Zu einem Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_j
}
{ =} { { \left\{ x \in R_j \mid (0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei steht $x$ an der $j$-ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in $R_j$
- Es ist
\mathl{0 \in I_j}{;} wenn
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) , (0 , \ldots , 0, y ,0 , \ldots , 0) \in I} { }
ist auch
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, x +y,0 , \ldots , 0) \in I} { ; }
Wenn
\mathl{x \in I_j}{} und
\mathl{r \in R_j}{} ist, so ist
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) \in I} { }
und somit ist
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, r ,0 , \ldots , 0) (0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) = (0 , \ldots , 0, rx ,0 , \ldots , 0)\in I} { , }
also
\mathl{rx \in I_j}{.} Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mathdisp {(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I} { }
ist, so ist auch
\zusatzklammer {mit der $1$ an der $j$-ten Stelle} {} {}
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, 1 ,0 , \ldots , 0) \cdot (a_1,a_2 , \ldots , a_n) = (0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0) \in I} { , }
also
\mathl{a_j \in I_j}{.} Also ist
\mathl{(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{.} Wenn umgekehrt
\mathl{a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{} ist, so ist
\mathl{a_j \in I_j}{,} also
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0) \in I} { . }
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1,a_2 , \ldots , a_n)
}
{ =} { (a_1,0 , \ldots , 0) + (0,a_2,0 , \ldots , 0) + \cdots + (0,0 , \ldots , a_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist somit
\mathl{a \in I}{.}
}{Es seien zunächst die
\mathl{I_j=(f_j)}{} Hauptideale in $R_j$. Für jedes Element
\mathl{a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I}{} ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_j
}
{ = }{ r_jf_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mathl{r_j \in R_j}{.} Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {(a_1,a_2 , \ldots , a_n)
}
{ =} {(r_1f_1,r_2f_2 , \ldots , r_n f_n)
}
{ =} { (r_1,r_2 , \ldots , r_n ) (f_1,f_2 , \ldots , f_n)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mathl{(f_1,f_2 , \ldots , f_n)}{} ein Erzeuger von
\mathl{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{} und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt
\mathl{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{} ein Hauptideal ist, so sei
\mathl{(f_1,f_2 , \ldots , f_n)}{} ein Erzeuger davon. Zu jedem $a_j \in I_j$ gehört
\mathl{(0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0)}{} zu $I$ und somit gibt es ein
\mathl{r \in R}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0)
}
{ =} { (r_1,r_2 , \ldots , r_n) (f_1,f_2 , \ldots , f_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_j
}
{ =} { r_jf_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist $f_j$ ein Erzeuger von $I_j$.
}{Dies folgt unmittelbar aus (3).
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die beiden Kurven
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V(Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ V(Y-X^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass der
\definitionsverweis {affine Koordinatenring}{}{}
von $C$ und auch der von $D$ in natürlicher Weise gleich
\mathl{K[X]}{} ist.
}{Bestimme die
$K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Restklassenringes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X,Y]/(Y,Y-X^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt.
}{Zeige, dass es
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
in $R$ gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinantenringen herrühren.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für $C$ ist der Koordinatenring unmittelbar gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[X,Y]/(Y)
}
{ \cong }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für $D$ betrachten wir den
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {} {K[X,Y]} { K[X]
} {,}
der $X$ auf $X$ und $Y$ auf $X^2$ schickt. Der Kern ist dabei
\mathl{(Y-X^2)}{} und smoit induziert dies eine Isomorphie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[X,Y]/(Y-X^2)
}
{ \cong }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {K[X,Y]/(Y,Y-X^2)
}
{ \cong} { K[X]/(X^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der $K$-Basis
\mathl{1,X}{,} die Dimension ist also $2$.
}{Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(1+X)(1-X)
}
{ = }{ 1-X^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R$ ist $1+X$ eine Einheit. Die Einheiten in den Koordinatenringen sind aber nur die Konstanten $\neq 0$ aus $K$, deren Produkte ergeben nur die Konstanten.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{\R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der
\definitionsverweis {Abbildung
}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R^3
} {t} { (t,t^2,t^3) = (x,y,z)
} {.}
Skizziere die Bilder von $C$ unter den
\definitionsverweis {Projektionen}{}{}
auf die verschiedenen Koordinatenebenen.
}
{Projektionen/t t^2 t^3/Skizziere/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabb {} {M} {N } {} zwischen kommutativen \definitionsverweis {Monoiden}{}{} derart an, dass die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{
Wir betrachten die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\N
}
{ \subset }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einem beliebigen Körper $K$ ist die Abbildung
\maabb {\varphi} {\N} { (K, \cdot,1)
} {,}
die $0$ auf $1$ und alle positiven Zahlen auf $0$ abbildet, ein
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{,}
also ein Punkt aus
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[\N] \right) }}{.} Dieser Homomorphismus ist nicht zu einem Monoidhomomorphismus auf ganz $\Z$ ausdehnbar, da dort $1$ invertierbar ist und daher auf eine Einheit geschickt werden muss.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Ist die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Z^3Y+Z^4 \right) }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
isomorph zum
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
einer
\definitionsverweis {monomialen Kurve}{}{?}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^4+Z^3Y+Z^4
}
{ =} { X^4+ Z^3 (Y+Z)
}
{ =} { X^4- Z^3 W
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir $W=-Y-Z$ schreiben. D.h. wir führen eine projektive Variablentransformation durch und schreiben die Gleichung in den neuen Variablen
\mathl{X,Z,W}{.} In dieser Form ist die Kurve der projektive Abschluss der affinen monomialen Kurve
\mathl{X^4-Z^3}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem kommutativen Ring $R$. Zu
\mathl{f \in A}{} bezeichne
\maabbeledisp {\mu_f} {A} {A
} {x} {fx
} {,}
die $R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei $R$-linearen Abbildungen
\maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {A} {A
} {}
bezeichne
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [\varphi_1,\varphi_2]
}
{ =} { \varphi_1 \circ \varphi_2-\varphi_2 \circ \varphi_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabb {\delta} {A} {A
} {}
eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{.}
Zeige, dass zu jedem
\mathl{g \in A}{} die Abbildung
\mathl{[\delta, \mu_g ]}{} eine Multiplikationsabbildung ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ [\delta, \mu_g] (x)
}
{ =} { { \left( \delta \circ \mu_g - \mu_g \circ \delta \right) } (x)
}
{ =} { \delta (gx) - g \delta(x)
}
{ =} { g \delta (x) + x \delta(g)- g \delta(x)
}
{ =} { x \delta (g)
}
}
{}
{}{.}
Somit ist
\mathl{[\delta, \mu_g]}{} die Multiplikation mit $\delta(g)$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{
Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \defeq} {V { \left( X^2+Y^2+1 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zwei Elementen.
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Punkte von $V$.
}{Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
von $V$.
}{Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
von
\mathl{X^2+Y^2+1}{} übereinstimmt.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{$V$ besteht genau aus den beiden Punkten
\mathl{(1,0)}{} und
\mathl{(0,1)}{.}
}{Der projektive Abschluss von $V$ stimmt mit $V$ überein, da endliche Mengen stets abgeschlossen sind.
}{Die Homogenisierung von
\mathl{X^2+Y^2+1}{} ist
\mathl{X^2+Y^2+Z^2}{.} Die Punkte im Unendlichen ergeben sich, wenn man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt, also als Lösung der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^2 +Y^2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es kommt der Punkt mit den homogenen Koordinaten
\mathl{(1,1,0)}{} hinzu, deshalb sind die beiden Mengen verschieden.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.
}
{
Es sei
\mathl{P \in {\mathbb P}^{2}_{K}}{} ein Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da der Körper insbesondere unendlich ist. Wir betrachten die
\definitionsverweis {Projektion weg von $P$}{}{,}
die insgesamt einen Morphismus
\mathdisp {C \hookrightarrow {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{P\} \longrightarrow {\mathbb P}^{1}_{K}} { }
induziert. Die Faser dieses Morphismus über einem Punkt
\mathl{Q \in {\mathbb P}^{1}_{K}}{}
\zusatzklammer {der eine Richtung in \mathlk{P \in {\mathbb P}^{2}_{K}}{} repräsentiert} {} {}
besteht genau aus den Punkten der Kurve, die auf der durch $Q$ definierten Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { V_+(aX+bY+cZ)
}
{ \cong} { {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liegen. Daher wird die Faser über $Q$ auf $G$ beschrieben, indem man in der Kurvengleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{V_+(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mittels der Geradengleichung eine Variable eliminiert. Das Ergebnis ist ein homogenes Polynom $\bar{F}$ in zwei Variablen vom Grad $d$, das nicht $0$ ist, denn sonst wäre $P$ ein Punkt der Kurve. Da wir über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind, besitzt dieses Polynom $\bar{F}$ mindestens eine und höchstens $d$ Nullstellen, die alle von $P$ verschieden sind. Dies ergibt die Surjektivität und die Abschätzung für die Faser.
}