%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 6 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 12 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asechzehn}{ }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellevierzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Polynomring} {} in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.

}{Eine \stichwort {irreduzible Komponente} {} einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{} $V$.

}{Ein \stichwort {Radikal} {.}

}{Der \stichwort {Singularitätsgrad} {} zu einem \definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Ein \stichwort {normaler} {} Integritätsbereich.

}{Eine \stichwort {quasiprojektive} {} Varietät. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Der Satz über die Beziehung des $K$-Spektrums von einem Restklassenring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}}{} zum Nullstellengebilde $V( {\mathfrak a} )$.}{Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}} { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( { \frac{ t^2+1 }{ t } } , \, { \frac{ t+1 }{ t } } \right) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Modul}{}{} über dem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Es seien $s_1 , \ldots , s_k \in R$ und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } }
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $A$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $\Z$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ \subseteq }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{A/ {\mathfrak m}}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit einem Element
\mathl{n \in R}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n^2 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $R$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} {R/(n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es zu jedem \definitionsverweis {idempotenten Element}{}{} $e$ aus $S$ ein idempotentes Element aus $R$ gibt, dessen Restklasse gleich $e$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $R=K[X,Y]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen, $S \subseteq R$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} und $F \in R$ ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige $R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (R/(F))_S }
{ \cong} { (R_S)/(F) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{

Wir betrachten zu
\mathl{n \in \Z}{} den \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi_n} {\Z} {\Z } {b} {nb } {.} \aufzaehlungdrei{Beschreibe die induzierte Spektrumsabbildung zu einem Körper $K$. }{Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $K$ \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} die Spektrumsabbildung \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist. }{Wie viele Urbilder hat die Spektrumsabbildung bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in jedem Punkt? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} der ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V { \left( Y^4+X^3+3XY^2+2X^2Y \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+1+1)}
{

Es sei
\mathl{e \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \defeq }{ \{0\} \cup \N_{ \geq e} }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme
\mathl{nM_+}{} für
\mathl{n \in \N_+}{.} }{Bestimme
\mathl{{ \# \left( M \setminus nM_+ \right) }}{.} }{Es sei $K$ ein Körper und setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{K[M]_{ {\mathfrak m} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (M_+) }
{ \subseteq }{ K[M] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme
\mathl{\dim_{ K } { \left( R/ {\mathfrak m}^n \right) }}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{12}
{

Beweise den \stichwort {Satz von Bezout} {.}

}
{} {}