Kurs:Algebraische Kurven/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	6	5	5	4	4	4	3	4	5	12	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Polynomring in einer Variablen ${}X$ über einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge ${}V$.
3. Ein Radikal.
4. Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$.
5. Ein normaler Integritätsbereich.
6. Eine quasiprojektive Varietät.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
2. Der Satz über die Beziehung des ${}K$-Spektrums von einem Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ zum Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})$.
3. Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {t^{2}+1}{t}},\,{\frac {t+1}{t}}\right),$

eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Modul über dem kommutativen Ring ${}R$. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{k}\in R$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige

${}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}A$ eine endlich erzeugte ${}\mathbb {Z}$- Algebra und es sei ${}{\mathfrak {m}}\subseteq A$ ein maximales Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ${}A/{\mathfrak {m}}$ ein endlicher Körper ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit einem Element ${}n\in R$ mit ${}n^{2}=0$ in ${}R$ und sei

${}S=R/(n)\,.$

Zeige, dass es zu jedem idempotenten Element ${}e$ aus ${}S$ ein idempotentes Element aus ${}R$ gibt, dessen Restklasse gleich ${}e$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R=K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen, ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System und ${}F\in R$ ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige ${}R$- Algebraisomorphie

${}(R/(F))_{S}\cong (R_{S})/(F)\,$

gibt.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten zu ${}n\in \mathbb {Z}$ den Monoidhomomorphismus

$\varphi _{n}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,b\longmapsto nb.$

1. Beschreibe die induzierte Spektrumsabbildung zu einem Körper ${}K$.
2. Zeige, dass bei ${}n\neq 0$ und ${}K$ algebraisch abgeschlossen die Spektrumsabbildung surjektiv ist.
3. Wie viele Urbilder hat die Spektrumsabbildung bei ${}n\neq 0$ und ${}K={\mathbb {C} }$ in jedem Punkt?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt ${}(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve

${}C=V{\left(Y^{4}+X^{3}+3XY^{2}+2X^{2}Y\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Es sei ${}e\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}M:=\{0\}\cup \mathbb {N} _{\geq e}\subseteq \mathbb {N}$.

1. Bestimme ${}nM_{+}$ für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.
2. Bestimme ${}{\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und setze ${}R=K[M]_{\mathfrak {m}}$ mit ${}{\mathfrak {m}}=(M_{+})\subseteq K[M]$. Bestimme ${}\dim _{K}{\left(R/{\mathfrak {m}}^{n}\right)}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$.

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Satz von Bezout.