Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 15/latex
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Dann ist der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R/{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $R_{\mathfrak p}$ ist ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{.} Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(S)
}
{ \cong} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{(Man nennt diesen Körper auch den
\definitionswortenp{Restekörper}{} zu ${\mathfrak p}$).} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer}{}{} \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ. Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} endlich viele Punkte in
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{}
dieser Punkte durch offene Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird.
}
{D.h. es ist zu zeigen, dass es zu $P_1, \ldots, P_n \in U$ offen stets ein $F \in R$ gibt mit $P_1, \ldots, P_n \in D(F) \subseteq U$} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.}
Zeige, dass die Punkte aus
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} den
\definitionsverweis {maximalen Idealen}{}{}
in $R$ entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {integre}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$R$ von
\definitionsverweis {endlichem Typ}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mathl{q \in Q=Q(R)}{} ein Element im
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $R$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid \text{es gibt } n \in \N \text{ mit } f^nq \in R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$ ist. Zeige ferner, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D({\mathfrak a})
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\zusatzklammer {maximale} {} {}
Definitionsbereich der
\definitionsverweis {algebraischen Funktion}{}{}
$q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und betrachte das Achsenkreuz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X,Y]/(XY) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
an $P$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {gerichtete Indexmenge}{}{}
und sei $G_i$,
\mathl{i \in I}{,} ein
\definitionsverweis {gerichtetes System}{}{}
von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Kolimes}{}{}
eine kommutative Gruppe ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {gerichtete Indexmenge}{}{}
und sei $M_i$,
\mathl{i \in I}{,} ein
\definitionsverweis {gerichtetes System}{}{}
von Mengen. Es sei $N$ eine weitere Menge und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei eine Abbildung
\maabbdisp {\psi_i} {M_i} { N
} {}
mit der Eigenschaft gegeben, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_i
}
{ = }{ \psi_j \circ \varphi_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \preccurlyeq }{ j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wobei $\varphi_{ij}$ die Abbildungen des Systems bezeichnen} {} {.}
Beweise die universelle Eigenschaft des
\definitionsverweis {Kolimes}{}{,}
nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung
\maabbdisp {\psi} { \operatorname{colim}\,_{i \in I} M_i } { N
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_i
}
{ = }{ \psi \circ j_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei
\mathl{j_i:M_i \rightarrow \operatorname{colim}\,_{i \in I} M_i}{} die natürlichen Abbildungen sind.
Zeige ferner, dass falls $M_i$ eine gerichtetes System von Gruppen und falls $N$ ebenfalls eine Gruppe ist und alle $\psi_i$ Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch $\psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra. Es seien $F_1$ und $F_2$ zwei
\definitionsverweis {topologische Filter}{}{}
in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} mit
\mathl{F_1 \subseteq F_2}{.} Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {{\mathcal O}_{F_1} } { {\mathcal O}_{F_2}
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein Körper, sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $S$ ein multiplikatives System in $R$. Zu $S$ definieren wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(S)
}
{ =} { { \left\{ U \subseteq K-\operatorname{Spek} \, (R) \text{ offen} \mid \text{ es gibt } f \in S \text{ mit } D(f) \subseteq U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{F=F(S)}{} ein \definitionsverweis {topologischer Filter}{}{}
ist. Zeige ferner, dass es einen Ringhomomorphismus
\mathdisp {R_S \longrightarrow \mathcal O_F} { }
gibt, der eine Isomorphie ist, falls $K$ algebraisch abgeschlossen und $R$ reduziert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra. Es sei
\mathl{P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} ein Punkt. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
${\mathcal O}_{ P }$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$ zusammen mit der $x$-Achse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgende Menge ein saturiertes multiplikatives System ist.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ f \in K[X,Y] \mid \text{In der homogenen Komponente } f_{\deg(f)} \text{ kommt } x^{\deg(f)} \text{ vor} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Skizziere die Nullstellenmenge von einigen Polynomen, die oder die nicht zu $S$ gehören.
Es sei $F$ der zugehörige topologische Filter. Vergleiche $F$ mit dem Umgebungsfilter zu $V$ und dem generischen Filter zu $V$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Auf $S$ betrachten wir folgende
\zusatzklammer {partielle} {} {}
\definitionsverweis {Ordnung}{}{,}
und zwar sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \preccurlyeq }{g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls $f$ eine Potenz von $g$ teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe
\mathdisp {R_f, \, f \in S} { , }
ein
\definitionsverweis {gerichtetes System}{}{}
bilden, und dass für den
\definitionsverweis {Kolimes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{colim}_{f \in S} R_f
}
{ =} { R_S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente, die das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen $R_{f_i}$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
sind. Zeige, dass dann auch $R$ noethersch ist.
}
{} {}