Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 17/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte den Monoidhomomorphismus
\mathdisp {\N^2 \longrightarrow \Z,\, e_1 \longmapsto 1,\, e_2 \longmapsto -1} { . }
Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper $K$) und den zugehörigen $K$-Spektren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathl{M \subseteq N}{} kommutative Monoide. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{M}
}
{ =} { { \left\{ n \in N \mid \text{es gibt } k \in \N_+ \text{ mit } kn \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Untermonoid von $N$ gegeben ist, das $M$ umfasst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es seien
\mathl{M \subseteq N}{} endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper $K$ der Ringhomomorphismus
\mathl{K[M] \subseteq K[N]}{} genau dann
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist, wenn es zu jedem
\mathl{n \in N}{} ein
\mathl{k \in \N_+}{} mit
\mathl{kn \in M}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{M=(\Q,+)}{} die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme
\mathl{\Q\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( \Q[M] \right) }}{.} Wie sieht es aus, wenn man $\mathbb Q$ durch $\mathbb R$ ersetzt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {M} {N
} {} ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus
\mathl{K-\operatorname{Spec} \, K[N]}{,} die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt
\mathl{1 \in K-\operatorname{Spek} \,(K[M])}{} abgebildet werden, selbst die Struktur eines $K$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten Monoide der Form
\mathl{M=(\Z/(m),+)}{.} Beschreibe
\mathl{K-\operatorname{Spek} \, (K[M])}{} allgemein sowie für die Körper
\mathl{K=\R, {\mathbb C}, \Z/(5)}{.} Finde die idempotenten Elemente von
\mathl{\mathbb C[\Z/(3)]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ ein kommutatives
\definitionsverweis {Monoid}{}{.}
Zeige, dass die zugehörige
\definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mathl{\Gamma=\Gamma(M)}{} eine kommutative
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {G
} {}
in eine Gruppe $G$ gibt es einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {\Gamma} {G
} {,}
der $\varphi$ fortsetzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ ein kommutatives
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
mit zugehöriger
\definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mathl{\Gamma=\Gamma(M)}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$M$ ist ein
\definitionsverweis {Monoid mit Kürzungsregel}{}{.}
}{Die kanonische Abbildung
\maabb {} {M} {\Gamma(M)} {}
ist injektiv.
}{$M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe. Dann können wir den
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
$K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter $M$ ein $K[G]$-Modul. Zeige, dass
\aufzaehlungzwei { $M$ nichts anderes ist als ein $K$-Vektorraum $V$ zusammen mit einem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabb {\rho} { G} { \operatorname{Aut}_K(V)
} {.}
} {ein $K[G]$-Modulhomomorphismus
\maabb {\varphi} {M} {M
} {}
eine $K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \rho(g)
}
{ = }{ \rho \circ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
{Bemerkung: $\rho$ heißt dann eine \stichwort {Darstellung} {} von $G$. Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als $G$ und man kann mit Hilfe von $\rho$ oft hilfreiche Erkenntnisse über $G$ selbst gewinnen.} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Wir betrachten die kommutativen Monoide
\mathl{M=\N^r}{} und
\mathl{N={\mathbb N}^s}{.} Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von $M$ nach $N$ eindeutig durch eine Matrix (mit $r$ Spalten und $s$ Zeilen) mit Einträgen aus $\N$ bestimmt ist.
}
{Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?} {}