Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 3/latex




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Es sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a} )}{} ein Radikal in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei \maabbdisp {\varphi} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Man beschreibe eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {,} die bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere \definitionsverweis {Zariski-offene}{}{} Menge
\mathl{U \subseteq \mathbb A^n_K}{} \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {Tipp: Induktion über $n$.}