Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 14/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition.

Ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} heißt \definitionswort {minimales Primideal}{}, wenn es kein Primideal ${\mathfrak q}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q} }
{ \subset }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $F \subseteq R$ nennt man einen \definitionswort {Ultrafilter}{,} wenn $0 \not\in F$ ist und wenn $F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \notin }{F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} ist, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \notin }{F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg^n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{F\subset R}{} ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{.} Zeige, dass das Komplement von $F$ ein \definitionsverweis {minimales Primideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ ein multiplikatives System mit $0 \not\in S$. Zeige, dass $S$ in einem \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} enthalten ist.

}
{\zusatzklammer {Man benutze das Lemma von Zorn} {} {.}} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer, \definitionsverweis {reduzierter}{}{} Ring. Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Nullteiler}{}{} in einem \definitionsverweis {minimalen Primideal}{}{} enthalten ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die \definitionsverweis {minimalen Primideale}{}{} von $R$ den irreduziblen Komponenten von
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} entsprechen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und betrachte die affine Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$. Es sei
\mathl{P \in {\mathbb A}^{2}_{K}}{} ein Punkt und
\mathl{U= {\mathbb A}^{2}_{K} \setminus \{P\}}{} das offene Komplement davon. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} ) }
{ =} { K[X,Y] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{\zusatzklammer {Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den \stichwort {Riemannschen Hebbarkeitssatz} {}} {} {.}} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M_i$,
\mathl{i \in \N}{,} seien $R$-Moduln mit fixierten $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {M_{i+1} } {.} Die Sequenz
\mathdisp {\ldots \longrightarrow M_i \longrightarrow M_{i+1} \longrightarrow M_{i+2} \longrightarrow M_{i+3} \longrightarrow \ldots} { }
heißt
\definitionswortenp{exakt}{,} wenn für alle $i$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Kern} \,(\varphi_{i}) }
{ = }{ \operatorname{Bild} \, (\varphi_{i-1}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition 10.2 in der Vorlesung übereinstimmt. } {Es sei nun
\mathl{R= K}{} ein Körper, die $M_i$ seien endlich erzeugt,
\mathl{M_0 = 0}{} und alle
\mathl{M_i =0}{} für
\mathl{i \geq n}{} für ein gewisses $n$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \operatorname{dim}_K M_i }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine endlichdimensionale, \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$-Algebra. Zeige, dass dann $A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von $K$ ist.

}
{} {Hinweis: Man darf ohne Beweis benutzen, dass es in $A$ nur endlich viele Primideale gibt.}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Menge $M$ aller
\mathl{2 \times 3}{-}Matrizen mit Rang $\leq 1$ über einem Körper $K$ als $K$-Spektrum einer geeigneten $K$-Algebra. Zeige, dass es eine Isomorphie zwischen einer (nicht leeren) Zariski-offenen Teilmenge von $M$ und einer offenen Menge des $\mathbb A^4_K$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { { \left( U^5-V^3, U^{11}-W^3,V^{11}-W^5 \right) } }
{ \subseteq} { K[U,V,W] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und das zugehörige Nullstellengebilde
\mathl{Z=V({\mathfrak a} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }}{.} Zeige, dass
\mathl{W-U^2V}{} zum Radikal von ${\mathfrak a}$ gehört. Zeige damit, dass $Z$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

}
{} {Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primideale ist, die es umfassen.}