Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 15

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer lokaler Ring. Zeige, dass ${}R$ zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring mit Restekörper ${}K$. Zeige, dass ${}R$ und ${}K$ genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn ${}R$ einen Körper enthält.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra. Es seien ${}F_{1}$ und ${}F_{2}$ zwei topologische Filter in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ mit ${}F_{1}\subseteq F_{2}$. Zeige, dass es einen Ringhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{F_{1}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{F_{2}}$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra. Es sei ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt. Zeige  (ohne Satz 15.12 zu verwenden), dass der Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ ein lokaler Ring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein minimales Primideal ist, wenn die Reduktion der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${}R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine integre, endlich erzeugte ${}K$-Algebra mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Es sei ${}q\in Q(R)$. Zeige, dass die Menge

${\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\mid q\in {\mathcal {O}}_{P}\right\}}$

offen in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist (dabei bezeichnet ${}{\mathcal {O}}_{P}$ den lokalen Ring im Punkt ${}P$).

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$- Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, gibt derart, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Betrachte ${}V=V(XW-YZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$. Beschreibe eine offene Menge ${}U\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$ derart, dass der zu ${}U\cap V\subseteq U$ gehörende Ringhomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U\cap V,{\mathcal {O}})$

nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Ring ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ reduziert ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow K$ eine Funktion. Es sei ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen ${}f_{i}=f\!\mid _{U_{i}}$ algebraische Funktionen sind. Zeige, dass dann ${}f$ selbst algebraisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X,Y]/(XY)\right)}\,.$

Bestimme für jeden Punkt ${}P\in V$, ob der lokale Ring an ${}P$ ein Integritätsbereich ist oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine gerichtete Indexmenge und sei ${}G_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der Kolimes eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine gerichtete Indexmenge und sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Es sei ${}N$ eine weitere Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Abbildung

$\psi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N$

mit der Eigenschaft gegeben, dass ${}\psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}$ ist für alle ${}i\preccurlyeq j$ (wobei ${}\varphi _{ij}$ die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

$\psi \colon \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}\longrightarrow N$

derart gibt, dass ${}\psi _{i}=\psi \circ j_{i}$ ist, wobei ${}j_{i}:M_{i}\rightarrow \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}$ die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls ${}M_{i}$ eine gerichtetes System von Gruppen und falls ${}N$ ebenfalls eine Gruppe ist und alle ${}\psi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch ${}\psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(S)$ und ${}R_{\mathfrak {p}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${}Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$

vorliegt.

(Man nennt diesen Körper auch den Restekörper zu ${}{\mathfrak {p}}$).

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine ${}K$-Algebra von endlichem Typ. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ endlich viele Punkte in ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Zeige, dass der Umgebungsfilter dieser Punkte durch offene Mengen der Form ${}D(f)$ erzeugt wird.

D.h. es ist zu zeigen, dass es zu ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in U$ offen stets ein ${}F\in R$ gibt mit ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in D(F)\subseteq U$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra ${}R$ von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Es sei ${}q\in Q=Q(R)$ ein Element im Quotientenkörper von ${}R$. Zeige, dass

${}{\mathfrak {a}}={\left\{f\in R\mid {\text{es gibt }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}f^{n}q\in R\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist. Zeige ferner, dass ${}D({\mathfrak {a}})\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ der (maximale) Definitionsbereich der algebraischen Funktion ${}q$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ und sei ${}S$ ein multiplikatives System in ${}R$. Zu ${}S$ definieren wir

${}F(S)={\left\{U\subseteq K-\operatorname {Spek} \,(R){\text{ offen}}\mid {\text{ es gibt }}f\in S{\text{ mit }}D(f)\subseteq U\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}F=F(S)$ ein topologischer Filter ist. Zeige ferner, dass es einen Ringhomomorphismus

$R_{S}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{F}$

gibt, der eine Isomorphie ist, falls ${}K$ algebraisch abgeschlossen und ${}R$ reduziert ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ zusammen mit der ${}x$-Achse

${}V=V(y)\,.$

Zeige, dass die folgende Menge ein saturiertes multiplikatives System ist.

${}S={\left\{f\in K[X,Y]\mid {\text{In der homogenen Komponente }}f_{\deg(f)}{\text{ kommt }}x^{\deg(f)}{\text{ vor}}\right\}}\,.$

Skizziere die Nullstellenmenge von einigen Polynomen, die oder die nicht zu ${}S$ gehören.

Es sei ${}F$ der zugehörige topologische Filter. Vergleiche ${}F$ mit dem Umgebungsfilter zu ${}V$ und dem generischen Filter zu ${}V$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine affine Varietät und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ endlich viele Punkte. Es sei ${}F$ der Umgebungsfilter dieser Punkte und ${}{\mathcal {O}}_{F}$ der zugehörige Halm. Zeige, dass ${}{\mathcal {O}}_{F}$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${}n=1$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Auf ${}S$ betrachten wir folgende (partielle) Ordnung, und zwar sagen wir ${}f\preccurlyeq g$, falls ${}f$ eine Potenz von ${}g$ teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe

$R_{f},\,f\in S,$

ein gerichtetes System bilden, und dass für den Kolimes

${}\operatorname {colim} _{f\in S}R_{f}=R_{S}\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ Elemente, die das Einheitsideal erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen ${}R_{f_{i}}$ für ${}i=1,\ldots ,n$ noethersch sind. Zeige, dass dann auch ${}R$ noethersch ist.