Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 22/latex

\setcounter{section}{22}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die Menge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[T] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {formaler Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F' }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger \definitionsverweis {ebener Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{V(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $C$ nur endlich viele \definitionsverweis {singuläre Punkte}{}{} besitzt.

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 22.11.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cercle tangente rayon.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cercle tangente rayon.svg } {} {} {Commons} {} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der \definitionsverweis {Tangente}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}

a) Zeige, dass der \definitionsverweis {Graph}{}{} eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {glatte}{}{} \definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{} ist.

b) Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F,G }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} $F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve
\mathdisp {V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) } \subset {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man charakterisiere die Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass \aufzaehlungdrei{die erste \definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{,} }{die zweite partielle Ableitung, }{beide partiellen Ableitungen } $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G,H }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Polynome mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G(P) }
{ = }{H(P) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für einen bestimmten Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{GH }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass jede \definitionsverweis {Tangente}{}{} von $G$ in $P$ und jede Tangente von $H$ in $P$ auch eine Tangente von $F$ in $P$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(x^3+5x^2y-6xy^2-x^2-xy+4y^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme die \definitionsverweis {Tangenten}{}{} im Nullpunkt. }{Zeige, dass
\mathl{P=(1,2)}{} ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von $C$ in $P$ über die Ableitung. }{Führe eine Variablentransformation durch derart, dass $P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in $P$ aus der transformierten Kurvengleichung. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V { \left( 9y^4+10x^2y^2+x^4-12y^3-12x^2y+4y^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Singularitäten}{}{} sowie deren \definitionsverweis {Multiplizitäten}{}{} und \definitionsverweis {Tangenten}{}{.}

}
{\zusatzklammer {Vergleiche dazu Beispiel 8.5.} {} {}} {}