Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{M \subseteq N}{} kommutative Monoide. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{M} }
{ =} { { \left\{ n \in N \mid \text{es gibt } k \in \N_+ \text{ mit } kn \in M \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Untermonoid von $N$ gegeben ist, das $M$ umfasst.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( 4 T^{(-1,3)} -6 T^{(-2,5)} + 5T^{(0,-2)} +3 T^{(-1,1)} \right) } \cdot { \left( -7 T^{(1,0)} + 8 T^{(4,5)} -4 T^{(-3,5)} +6 T^{(3,-1)} \right) }} { }
im \definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{K[\Z^2]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( 4 T^{0} -9 T^{1} + 9T^{2} +7 T^{3} -4T^4 \right) } \cdot { \left( 4 T^{0} - T^{1} + 5T^{2} +7 T^{3} -T^4 \right) }} { }
im \definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{K[ \Z/(5) ]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Multiplikation auf einem \definitionsverweis {Monoidring}{}{} zu einem \definitionsverweis {kommutativen Monoid}{}{} das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid $M$ derart, dass eine Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[M] }
{ \cong} { K[X,Y,U,V]/(UX-VY) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{} und es sei
\mathl{e \in M}{} ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2e }
{ = }{ e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei
\mathl{K[M]}{} der zugehörige \definitionsverweis {Monoidring}{}{.} Zeige, dass $T^e$ ein \definitionsverweis {idempotentes Element}{}{} in
\mathl{K[M]}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[G]}{} nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist, obwohl es in der Gruppe außer $0$ kein Element $e$ gibt, das die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2e }
{ = }{e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines \definitionsverweis {Untermonoids}{}{}
\mathl{M\subseteq \N^2}{,} das nicht \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel
\mathl{V(Z^2-X^2-Y^2)}{} über ${\mathbb C}$ als einen \definitionsverweis {Monoidring}{}{} realisieren kann.

}
{} {}

Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Es sei
\mathl{m \in M}{} und
\mathl{T^m \in K[M]}{.} Zeige, dass $m$ genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $M$ ist, wenn $T^m$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in
\mathl{K[M]}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{} zu einem \definitionsverweis {kommutativen Monoid}{}{} in der Tat eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{.} Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mathl{\Gamma=\Gamma(M)}{} eine kommutative \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {G } {} in eine Gruppe $G$ gibt es einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {\Gamma} {G } {,} der $\varphi$ fortsetzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{} mit zugehöriger \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mathl{\Gamma=\Gamma(M)}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$M$ ist ein \definitionsverweis {Monoid mit Kürzungsregel}{}{.} }{Die kanonische Abbildung \maabb {} {M} {\Gamma(M)} {} ist injektiv. }{$M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{} und $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Charakterisiere, für welche Teilmengen
\mathl{I \subseteq M}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[I] }
{ =} { \bigoplus_{m \in I} T^m }
{ \subseteq} { R[M] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R[M]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte den Monoidhomomorphismus
\mathdisp {\N^2 \longrightarrow \Z,\, e_1 \longmapsto 1,\, e_2 \longmapsto -1} { . }
Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper $K$) und den zugehörigen $K$-Spektren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die kommutativen Monoide
\mathl{M=\N^r}{} und
\mathl{N={\mathbb N}^s}{.} Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von $M$ nach $N$ eindeutig durch eine Matrix (mit $r$ Spalten und $s$ Zeilen) mit Einträgen aus $\N$ bestimmt ist.

}
{Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine quadratische $r\times r$-Matrix mit Einträgen aus $\N$ mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung \maabbdisp {\varphi} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[\N^r] \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[\N^r] \right) } } {,} wobei $K$ ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann $\det (M) \neq 0$ ist, wenn $\varphi$ surjektiv auf eine offene Menge aus $K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[\N^r] \right) }$ abbildet.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Ein \definitionswort {Filter}{} $F$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Monoid}{}{} $M$ ist ein \definitionsverweis {Untermonoid}{}{,} das zusätzlich \definitionswort {teilerstabil}{} ist. D.h. falls $f \in F$ ist und $g|f$ gilt, so ist auch $g \in F$.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{.} Zeige, dass es in $M$ einen kleinsten \definitionsverweis {Filter}{}{} gibt und dass dieser eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Beweise die $R$-\definitionsverweis {Algebraiso\-mor\-phie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[\Z^n] }
{ \cong} { R[X_1 , \ldots , X_n]_{X_1 \cdots X_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{} und sei
\mathl{f \in M}{.} Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_f }
{ =} { { \left\{ m-nf \mid m \in M , \, n \in \N \right\} } /\sim }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die Relation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m-nf }
{ \sim} { m' -n'f }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn es ein $k \in \N$ derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m +n'f + kf }
{ =} { m' +nf + kf }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $M$ gilt.

\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist. }{Definiere auf $M_f$ eine Monoidstruktur. }{Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{T^f \in R[M]}{} das Monom zu $f$ im Monoidring. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[M_f ] }
{ \cong} { R[M]_{T^f} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M,N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den $K$-Spektren
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }=\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, (M, K)}{} und
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[N] \right) }=\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, (N, K)}{.} Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus
\mathl{\varphi:M \rightarrow N}{} die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das kommutative \definitionsverweis {Monoid}{}{} $M$, das durch die drei Erzeuger
\mathl{e,f,g}{} und die einzige Relation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e+f }
{ = }{5g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben ist. Bestimme das $K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} zu $M$ für verschiedene \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein endliches kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{.} Zeige, dass das $K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} zu $M$ auch endlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne in $R=\R[\Q_{\geq 0}]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( X^2 +4 X^{3/2}-5X+ X^{1/2} \right) } { \left( 2 X^{3/2}+4X-7X^{1/2} \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jedes Element $F \in R=K[\Q_{\geq 0}]$ \zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {} als ein Polynom in
\mathl{X^{1/b}}{} mit einem
\mathl{b \in \N_+}{} schreiben kann, dass es also ein
\mathl{P \in K[Y]}{} derart gibt, dass
\mathl{F=P(X^{1/b})}{} gilt. Welches Polynom kann man bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} {X^{1/2} +X^{1/3} + X^{1/5} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nehmen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in $R=K[\Q_{\geq 0}]$ das Element $X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in $R=\R[\Q_{\geq 0}]$ das Element $X^2+1$ nicht \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es in $R={\mathbb C}[\Q_{\geq 0}]$ keine \definitionsverweis {irreduziblen Elemente}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme sämtliche Teiler von $X$ im Ring $R=K[\Q_{\geq 0}]$, wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[\Q] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{6}
{

Es seien
\mathl{M \subseteq N}{} endlich erzeugte kommutative Monoide mit Kürzungsregel. Zeige, dass für einen Körper $K$ der Ringhomomorphismus
\mathl{K[M] \subseteq K[N]}{} genau dann \definitionsverweis {endlich}{}{} ist, wenn es zu jedem
\mathl{n \in N}{} ein
\mathl{k \in \N_+}{} mit
\mathl{kn \in M}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{M=(\Q,+)}{} die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme
\mathl{\Q\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( \Q[M] \right) }}{.} Wie sieht es aus, wenn man $\mathbb Q$ durch $\mathbb R$ ersetzt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabb {\varphi} {M} {N } {} ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus
\mathl{K-\operatorname{Spec} \, K[N]}{,} die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt
\mathl{1 \in K-\operatorname{Spek} \,(K[M])}{}  \zusatzklammer {das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung $M \mapsto 1$ entspricht} {} {} abgebildet werden, selbst die Struktur eines $K$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten Monoide der Form
\mathl{M=(\Z/(m),+)}{.} Beschreibe
\mathl{K-\operatorname{Spek} \, (K[M])}{} allgemein sowie für die Körper
\mathl{K=\R, {\mathbb C}, \Z/(5)}{.} Finde die idempotenten Elemente von
\mathl{\mathbb C[\Z/(3)]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten. \aufzaehlungvier{\definitionsverweis {Filter}{}{} in $M$. }{
\mathl{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, (M, (\{0,1\},1,\cdot))}{.} }{
\mathl{{\mathbb F}_2-\operatorname{Spek} \, (M)}{} }{
\mathl{{ \left\{ \varphi \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) } \mid \varphi(M) \subseteq \{0,1\} \right\} }}{.} \zusatzklammer {Dabei ist $K$ ein Körper.} {} {} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $M$ und $N$ \definitionsverweis {kommutative Monoide}{}{} und sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} In welcher Beziehung steht
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M \times N] \right) }}{} zu
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }}{} und
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[N] \right) }}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe. Dann können wir den \definitionsverweis {Monoidring}{}{} $K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter $M$ ein $K[G]$-Modul. Zeige, dass \aufzaehlungzwei { $M$ nichts anderes ist als ein $K$-Vektorraum $V$ zusammen mit einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabb {\rho} { G} { \operatorname{Aut}_K(V) } {.} } {ein $K[G]$-Modulhomomorphismus \maabb {\varphi} {M} {M } {} eine $K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \rho(g) }
{ = }{ \rho \circ \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }

}
{Bemerkung: $\rho$ heißt dann eine \stichwort {Darstellung} {} von $G$. Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als $G$ und man kann mit Hilfe von $\rho$ oft hilfreiche Erkenntnisse über $G$ selbst gewinnen.} {}