Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen ${}K$-Algebra. Zeige, dass ein irreduzibler Filter durch offene Mengen der Form ${}D(f)$ erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine affine Varietät und ${}Z\subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge. Zeige, dass der Umgebungsfilter ${}U(Z)$ von offenen Mengen der Form ${}D(f)$ erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Ultrafilter irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zeige, dass die Einheiten in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$ den Morphismen von ${}U$ nach ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{\times }}={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}$ entsprechen.

Aufgabe

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

${\psi }\colon U\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

ein Morphismus. Zeige, dass ${}{\psi }$ genau dann durch die abgeschlossene Menge ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ faktorisiert, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ im Kern des globalen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon K[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$

liegt.

Aufgabe

Es seien ${}U$ und ${}V$ quasiaffine Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}W=U\uplus V$ ihre disjunkte Vereinigung. Zeige, dass für jede quasiaffine Varietät ${}Z$ ein Morphismus von ${}W$ nach ${}Z$ einfach ein Paar bestehend aus einem Morphismus von ${}U$ nach ${}Z$ und einem Morphismus von ${}V$ nach ${}Z$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper ${}K$ und es seien ${}P=(a,b)$ und ${}Q=(c,d)$ Punkte auf ${}V$. Zeige, dass es einen Automorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit

${}\varphi (P)=Q\,$

gibt.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Z$ quasiaffine Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ betrachten wir

${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}:={\left\{\varphi :U\rightarrow Z\mid \varphi {\text{ ist ein Morphismus}}\right\}}\,.$

Zeige, dass dies eine Garbe auf ${}X$ ist.

Aufgabe *

Man beschreibe einen ${}K$- Algebrahomomorphismus derart, dass die induzierte Spektrumsabbildung der ${}K$- Spektren die Addition auf ${}K$ beschreibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in ${}K$ sich als Morphismen realisieren lassen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei ${}f\in R$ ein weiteres Element. Dann nennt man die ${}R$-Algebra

${}A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,$

die erzwingende Algebra zu den ${}f_{1},\ldots ,f_{n},f$. Zeige, dass ${}A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ in einen kommutativen Ring ${}S$ mit der Eigenschaft ${}\varphi (f)\in {\mathfrak {a}}S$ gibt es einen ${}R$- Algebrahomomorphismus ${}\vartheta \colon A\rightarrow S$. Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus nicht eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},f$ Elemente in ${}R$ und es sei

${}A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,$

die erzwingende Algebra zu diesen Daten. Charakterisiere die Fasern des zugehörigen Morphismus

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(A\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ${}K$- Algebrahomomorphismus mit zugehörigem Morphismus ${}=\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist injektiv.
2. Das Bild von ${}\varphi ^{*}$ ist dicht in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.
3. ${}\varphi$ induziert einen Ringhomomorphismus ${}Q(R)\rightarrow Q(S)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ zwei integre ${}K$- Algebren von endlichem Typ. Es sei ein ${}K$- Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon Q(R)\longrightarrow Q(S)$

zwischen den Quotientenkörpern gegeben. Zeige, dass es eine offene Teilmenge ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ und einen Morphismus

$U\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$

gibt, der ${}\varphi$ induziert.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ über ${}\mathbb {C}$ und einem Morphismus

${\psi }\colon C_{1}\longrightarrow C_{2},$

der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist.

Aufgabe (8 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei affinen Varietäten ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ und einem Morphismus

${\psi }\colon V_{1}\longrightarrow V_{2},$

der bijektiv ist, wo aber die Umkehrungabbildung nicht stetig (in der Zariski-Topologie) ist.

(und daher auch kein Morphismus)

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine quasiaffine Varietät und sei ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine algebraische Funktion. Es seien ${}q=g_{i}/h_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, lokale Darstellungen von ${}f$ auf ${}D(h_{i})\subseteq U$. Zeige, dass das Urbild ${}f^{-1}(0)$ gleich der abgeschlossenen Menge ${}V(h_{1}g_{1},\ldots ,h_{n}g_{n})\cap U$ ist.