Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${}a+b$ nur dann eine Einheit ist, wenn ${}a$ oder ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}R$ hat genau ein maximales Ideal
2. Die Menge der Nichteinheiten ${}R\setminus R^{\times }$ bildet ein Ideal in ${}R$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer lokaler Ring. Zeige, dass ${}R$ zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring mit Restekörper ${}K$. Zeige, dass ${}R$ und ${}K$ genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn ${}R$ einen Körper enthält.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring und ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal von ${}R$. Zeige, dass

$R^{\times }\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$, die lokal sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von ${}R$ an maximalen Idealen zueinander isomorph sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X,Y]/(XY)\right)}\,.$

Bestimme für jeden Punkt ${}P\in V$, ob der lokale Ring an ${}P$ ein Integritätsbereich ist oder nicht.

Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel

${}C=V(X^{2}-Y^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von ${}C$ an Punkten ${}P\neq (0,0)$ zueinander isomorph sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ die Lokalisierung im Nullpunkt der Kurve

${}C=V(Y^{2}-X^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

und es sei ${}S$ die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden lokalen Ringe isomorph?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein minimales Primideal ist, wenn die Reduktion der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${}R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra. Es sei ${}S=R_{\mathfrak {m}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Zeige, dass der Restekörper von ${}S$ endlich über ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. R ist reduziert.
2. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist ${}R_{\mathfrak {p}}$ reduziert.
3. Für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist ${}R_{\mathfrak {m}}$ reduziert.

Bemerkung: Man sagt daher, dass die Reduziertheit eine lokale Eigenschaft ist.

Man gebe auch ein Beispiel für einen kommutativen Ring, der nicht integer ist, dessen Lokalisierungen an Primidealen aber alle integer sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, sei ${}f\in R$ und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}$ genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra. Es seien ${}F_{1}$ und ${}F_{2}$ zwei topologische Filter in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ mit ${}F_{1}\subseteq F_{2}$. Zeige, dass es einen Ringhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{F_{1}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{F_{2}}$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra. Es sei ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt. Zeige  (ohne Satz 15.12 zu verwenden), dass der Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ ein lokaler Ring ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine integre, endlich erzeugte ${}K$-Algebra mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Es sei ${}q\in Q(R)$. Zeige, dass die Menge

${\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\mid q\in {\mathcal {O}}_{P}\right\}}$

offen in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist (dabei bezeichnet ${}{\mathcal {O}}_{P}$ den lokalen Ring im Punkt ${}P$).

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$- Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, gibt derart, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine gerichtete Indexmenge und sei ${}G_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der Kolimes eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine gerichtete Indexmenge und sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Es sei ${}N$ eine weitere Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Abbildung

$\psi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N$

mit der Eigenschaft gegeben, dass ${}\psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}$ ist für alle ${}i\preccurlyeq j$ (wobei ${}\varphi _{ij}$ die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

$\psi \colon \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}\longrightarrow N$

derart gibt, dass ${}\psi _{i}=\psi \circ j_{i}$ ist, wobei ${}j_{i}:M_{i}\rightarrow \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}$ die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls ${}M_{i}$ eine gerichtetes System von Gruppen und falls ${}N$ ebenfalls eine Gruppe ist und alle ${}\psi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch ${}\psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe die Menge ${}M$ aller ${}2\times 3$-Matrizen mit Rang ${}\leq 1$ über einem Körper ${}K$ als ${}K$-Spektrum einer geeigneten ${}K$-Algebra. Zeige, dass es eine Isomorphie zwischen einer (nicht leeren) Zariski-offenen Teilmenge von ${}M$ und einer offenen Menge des ${}\mathbb {A} _{K}^{4}$ gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(S)$ und ${}R_{\mathfrak {p}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${}Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$

vorliegt.

(Man nennt diesen Körper auch den Restekörper zu ${}{\mathfrak {p}}$).

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine ${}K$-Algebra von endlichem Typ. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ endlich viele Punkte in ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Zeige, dass der Umgebungsfilter dieser Punkte durch offene Mengen der Form ${}D(f)$ erzeugt wird.

D.h. es ist zu zeigen, dass es zu ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in U$ offen stets ein ${}F\in R$ gibt mit ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in D(F)\subseteq U$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ und sei ${}S$ ein multiplikatives System in ${}R$. Zu ${}S$ definieren wir

${}F(S)={\left\{U\subseteq K-\operatorname {Spek} \,(R){\text{ offen}}\mid {\text{ es gibt }}f\in S{\text{ mit }}D(f)\subseteq U\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}F=F(S)$ ein topologischer Filter ist. Zeige ferner, dass es einen Ringhomomorphismus

$R_{S}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{F}$

gibt, der eine Isomorphie ist, falls ${}K$ algebraisch abgeschlossen und ${}R$ reduziert ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ zusammen mit der ${}x$-Achse

${}V=V(y)\,.$

Zeige, dass die folgende Menge ein saturiertes multiplikatives System ist.

${}S={\left\{f\in K[X,Y]\mid {\text{In der homogenen Komponente }}f_{\deg(f)}{\text{ kommt }}x^{\deg(f)}{\text{ vor}}\right\}}\,.$

Skizziere die Nullstellenmenge von einigen Polynomen, die oder die nicht zu ${}S$ gehören.

Es sei ${}F$ der zugehörige topologische Filter. Vergleiche ${}F$ mit dem Umgebungsfilter zu ${}V$ und dem generischen Filter zu ${}V$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine affine Varietät und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ endlich viele Punkte. Es sei ${}F$ der Umgebungsfilter dieser Punkte und ${}{\mathcal {O}}_{F}$ der zugehörige Halm. Zeige, dass ${}{\mathcal {O}}_{F}$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${}n=1$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Auf ${}S$ betrachten wir folgende (partielle) Ordnung, und zwar sagen wir ${}f\preccurlyeq g$, falls ${}f$ eine Potenz von ${}g$ teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe

$R_{f},\,f\in S,$

ein gerichtetes System bilden, und dass für den Kolimes

${}\operatorname {colim} _{f\in S}R_{f}=R_{S}\,$

gilt.