Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die nicht-leeren \definitionsverweis {Zariski-offenen}{}{} Teilmengen auf der \definitionsverweis {affinen Geraden}{}{} ${\mathbb A}^{1}_{K}$ genau die \zusatzklammer {maximalen} {} {} Definitionsbereiche von \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die durch $P$ definierte Funktion
\maabb {P} {K} {K
} {}
unendlich viele Werte annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die reellen Nullstellengebilde von
\mathl{Y^n-X^n}{} und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen
\mathl{V_n \subset \mathbb A^2_{\mathbb R}}{,} die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären $n$-Ecks (mit $(1,0)$ als einem Eck) besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man beschreibe eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {,} die bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } }
}
{ =} { {\mathbb C}^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affin-algebraische}{}{}
Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}^n
}
{ =} { \R^{2n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Teilmenge $V$ auch eine affin-algebraische Menge des ${ {\mathbb A}_{ \R }^{ 2n } }$ ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_T(x)
}
{ \defeq} { \inf { \left( d(x,y), \, y \in T \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte,
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabb {} {M } {\R
} {}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist, wenn es eine
\definitionsverweis {stetige}{}{}
Funktion
\maabb {f} {M} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{-1}(0)
}
{ =} {T
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle
\mathkor {} {U { \left( P,r \right) }} {bzw.} {B \left( P,r \right)} {}
im $\R^n$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht offen bzw. abgeschlossen in der
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
}
{} {}
Ein Element $a$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für eine natürliche Zahl $n$ ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {nilpotente Elemente}{}{.}
Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.}
Zeige, dass $1+f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $r\in R$ ein \definitionsverweis {nilpotentes}{}{} Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in $R[X]$, das eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Man gebe auch das \definitionsverweis {Inverse}{}{} dazu an.
}
{} {}
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {reduziert}{,} wenn $0$ das einzige \definitionsverweis {nilpotente Element}{}{} von $R$ ist.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^n,\, n \in \N_+}{,} alle dasselbe
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a} )}{} ein Radikal in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien $\mathfrak a$ und $\mathfrak b$ zwei Ideale in
\mathl{K[X_1, \ldots, X_n]}{} derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Sei \maabbdisp {\varphi} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere
\definitionsverweis {Zariski-offene}{}{} Menge
\mathl{U \subseteq \mathbb A^n_K}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{} ist.
}
{} {Tipp: Induktion über $n$.}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene $\mathbb A^2_K$ den
\definitionsverweis {Zariski-Abschluss}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{{ \left\{ (x, \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (\cos (x), \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \Q \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid x \in \Z/(5) \right\} }}{.}
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper.
\aufzaehlungvier{Man zeige, dass für
\mathl{K = \R}{} bzw.
\mathl{K = {\mathbb C}}{} die Standardtopologie
\zusatzklammer {die metrische oder euklidische Topologie} {} {}
feiner ist als die
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{.}
}{Man zeige, dass für $K[X]$ die Zariski-Topologie mit der
\definitionsverweis {kofiniten Topologie}{}{}
übereinstimmt. Gilt dies auch für
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mathl{n > 1}{?}
}{Wann ist die Zariski-Topologie $T_1$, wann ist sie
\definitionsverweis {hausdorffsch}{}{?}
}{Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist?
}
}
{} {}
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