Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 3

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die nicht-leeren Zariski-offenen Teilmengen auf der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ genau die (maximalen) Definitionsbereiche von rationalen Funktionen sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und es sei ${}P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die durch ${}P$ definierte Funktion ${}P\colon K\rightarrow K$ unendlich viele Werte annimmt.

Aufgabe

Skizziere die reellen Nullstellengebilde von ${}Y^{n}-X^{n}$ und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen ${}V_{n}\subset \mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{2}$, die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären ${}n$-Ecks (mit ${}(1,0)$ als einem Eck) besteht.

Aufgabe

Man beschreibe eine Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},$

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.

Aufgabe

Es sei

${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}={\mathbb {C} }^{n}\,$

eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung

${}{\mathbb {C} }^{n}=\mathbb {R} ^{2n}\,$

die Teilmenge ${}V$ auch eine affin-algebraische Menge des ${}{{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2n}}$ ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch

${}d_{T}(x):=\inf {\left(d(x,y),\,y\in T\right)}\,$

eine wohldefinierte, stetige Funktion ${}M\rightarrow \mathbb {R}$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann abgeschlossen ist, wenn es eine stetige Funktion ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ mit

${}f^{-1}(0)=T\,$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle ${}U{\left(P,r\right)}$ bzw. ${}B\left(P,r\right)$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ zu ${}r>0$ nicht offen bzw. abgeschlossen in der Zariski-Topologie sind.

Aufgabe

Charakterisiere in ${}\mathbb {Z}$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

Ein Element ${}a$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt nilpotent, wenn ${}a^{n}=0$ für eine natürliche Zahl ${}n$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}f,g\in R$ nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ${}f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein nilpotentes Element. Zeige, dass ${}1+f$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}r\in R$ ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in ${}R[X]$, das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt reduziert, wenn ${}0$ das einzige nilpotente Element von ${}R$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Potenzen ${}{\mathfrak {a}}^{n},\,n\in \mathbb {N} _{+}$, alle dasselbe Radikal besitzen.

Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi :R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})$ ein Radikal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Seien ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ zwei Ideale in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$

eine Abbildung, die durch ${}m$ Polynome in ${}n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass ${}\varphi$ stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge ${}U\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ dicht ist.

Tipp: Induktion über ${}n$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene ${}\mathbb {A} _{K}^{2}$ den Zariski-Abschluss.

1. ${}{\left\{(x,\sin(x))\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$,
2. ${}{\left\{(\cos(x),\sin(x))\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,x^{3})\mid 0\leq x\leq 1,\,x\in \mathbb {R} \right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,x^{3})\mid 0\leq x\leq 1,\,x\in \mathbb {Q} \right\}}$,
5. ${}{\left\{(x,x^{3})\mid x\in \mathbb {Z} /(5)\right\}}$.

Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper.

1. Man zeige, dass für ${}K=\mathbb {R}$ bzw. ${}K={\mathbb {C} }$ die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
2. Man zeige, dass für ${}K[X]$ die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}n>1$?
3. Wann ist die Zariski-Topologie ${}T_{1}$, wann ist sie hausdorffsch?
4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ${}K$ ein endlicher Körper ist?