Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 7/latex

\setcounter{section}{7}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \anfuehrung{Kugelschnitte}{.} Welche davon sind \definitionsverweis {Kegelschnitte}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \anfuehrung{Zylinderschnitte}{.} Welche davon sind \definitionsverweis {Kegelschnitte}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Kegelschnitte, die sich als Schnitt mit einer Ebene ergeben, die durch den Nullpunkt verläuft.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass parallele Ebenen, die beide nicht durch den Nullpunkt gehen, den gleichen Typ von Kegelschnitt definieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den Standardkegel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(Z^2-X^2-Y^2) }
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Ebenen, die durch die Drehachse
\mathl{V(X,Z)}{} verlaufen. Bestimme, in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\alpha$ \zusatzklammer {gemessen in der
\mathl{x-z}{-}Ebene gegen den Uhrzeigersinn} {} {,} den Typ des durch die Ebene $E_\alpha$ gegebenen Kegelschnitts.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den Standardkegel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(Z^2-X^2-Y^2) }
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Ebenen, die durch die Drehachse
\mathl{V(X-1,Z)}{} verlaufen. Bestimme, in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\alpha$ \zusatzklammer {gemessen in der
\mathl{x-z}{-}Ebene gegen den Uhrzeigersinn} {} {,} den Typ des durch die Ebene $E_\alpha$ gegebenen Kegelschnitts.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den Standardkegel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(Z^2-X^2-Y^2) }
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Ebenen, die durch die Drehachse
\mathl{V(X-1,Z-1)}{} verlaufen. Bestimme, in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\alpha$ \zusatzklammer {gemessen in der
\mathl{x-z}{-}Ebene gegen den Uhrzeigersinn} {} {,} den Typ des durch die Ebene $E_\alpha$ gegebenen Kegelschnitts.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Transformiere die Quadrik
\mathdisp {2x^2+xy-3y^2+5x-y+3} { }
auf eine reelle Standardgestalt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Parametrisiere die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { 2x^2-xy+3y^2+x-5y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Quadrik mit Hilfe des Nullpunktes und der Geraden
\mathl{V(y-1)}{}.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die beiden Kreise
\mathdisp {X^2+Y^2=1 \text{ und } 4X^2+3Y^2 =9} { . }
Zeige, dass die beiden Kreise über $\R$ \definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{} sind, aber nicht über $\Q$.

}
{} {Tipp: Eine Argumentationsmöglichkeit ergibt sich aus Satz 67.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)).}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $F=(0,0)$ der Nullpunkt in der reellen Ebene und $G=V(X-1)$. Es sei $e >0$ eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte $P=(x,y)$ mit der Eigenschaft, dass der Abstand $d(P,F)$ proportional mit Proportionalitätsfaktor $\sqrt{e}$ zum (senkrechten) Abstand $d(P,G)$ ist.

Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei $e<1$ eine Ellipse, bei $e=1$ eine Parabel und bei $e>1$ eine Hyperbel vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Bild der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{-1,0,1\}} { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( { \frac{ t }{ t^2-1 } } , \, { \frac{ 1 }{ t } } \right) } {} eine nichttriviale algebraische Gleichung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^{d+1}-Y^d) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte algebraische Kurve $C$ \zusatzklammer {\mathlk{d \geq 1}{}} {} {.} Zeige, dass man mit dem Nullpunkt und der Geraden
\mathl{V(X-1)}{} eine Parametrisierung von $C$ erhält mit der im Beweis zu Satz 7.6 beschriebenen Methode.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben besprechen wir ein Automorphismuskonzept, das über affin-lineare Koordinatenwechsel hinausgeht.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {} heißt \zusatzklammer {polynomialer} {} {} \definitionswort {Automorphismus des affinen Raumes}{,} wenn sie eine polynomiale \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} besitzt.

Ein Automorphismus des affinen Raumes ist das gleiche wie ein $K$-\definitionsverweis {Algebra-Automorphismus}{}{} des Polynomrings
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} in sich. Er wird durch $n$ Polynome in $n$ Variablen gegeben.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K[X]} {K[X] } {} durch
\mathl{X \mapsto aX+b}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben ist \zusatzklammer {also durch eine \definitionsverweis {affin-lineare}{}{} Variablentransformation} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine bijektive \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {,} deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} nicht polynomial ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} zur Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } } } {} ein \definitionsverweis {Automorphismus}{}{} des affinen Raumes. Zeige, dass die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} konstant gleich einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

Das \stichwort {Jacobi-Problem} {} ist die Frage, ob eine polynomiale Abbildung \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } } } {,} für den die Jacobi-Determinante konstant gleich $1$ ist, eine polynomiale Umkehrabbildung besitzt \zusatzklammer {also ein Automorphismus des affinen Raumes ist} {} {.} Diese Problem ist schon bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen. Aufgrund des Satzes über die Umkehrabbildung gibt es unter der gegebenen Voraussetzung in jedem Punkt lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {(x,y)} {(x,y+F(x)) } {,} ein \definitionsverweis {Automorphismus}{}{} des \definitionsverweis {affinen Raumes}{}{} ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

}
{} {}

Zwei \definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V, \tilde{V} }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißen \definitionswort {affin-algebraisch äquivalent}{,} wenn es einen \definitionsverweis {Automorphismus des affinen Raumes}{}{} \maabb {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(V) }
{ =} {\tilde{V} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V(Y-F(X)) }
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {Graph}{}{.} Zeige, dass $C$ zur $x$-Achse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(Y) }
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {affin-algebraisch äquivalent}{}{} ist, aber im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V , \tilde{V} }
{ \subset} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} zueinander \definitionsverweis {affin-algebraisch äquivalente}{}{} \definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{} mit den \definitionsverweis {Verschwindungsidealen}{}{} \mathkor {} {\operatorname{Id} \,(V)} {und} {\operatorname{Id} \,(\tilde{V} )} {.} Zeige, dass dann die \definitionsverweis {Restklassenringe}{}{} \mathkor {} {K[X_1 , \ldots , X_n] / \operatorname{Id} \,(V)} {und} {K[X_1 , \ldots , X_n] / \operatorname{Id} \,(\tilde{V} )} {} zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche Quadriken im $\R^2$ \zusatzklammer {im ${\mathbb C}^2$} {} {} sind zueinander \definitionsverweis {affin-algebraisch äquivalent}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Quadriken zu \definitionsverweis {homogenen}{}{} quadratischen Polynomen in zwei Variablen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Führe für die rationale Quadrik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C = V(X^2+Y^2-5) }
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\Q} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine rationale Parametrisierung im Sinne von Satz 7.6 mit dem Hilfspunkt
\mathl{(1,2)}{} und einer geeigneten Geraden durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \mod 4 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Begründe unter Bezug auf Satz 9.10 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)), dass die rationale Quadrik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C = V(X^2+Y^2-p) }
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\Q} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} leer ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element, das keine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} in $R$ besitze. Zeige, dass das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r }
{ \in }{ R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mathl{r \in R}{} ein Element, das in $R$ keine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} besitze. Wir betrachten die \definitionsverweis {quadratische Ringerweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ \subset} {R [X]/(X^2-r) }
{ \defeqr} {S }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Elemente
\mathl{f \in R}{,} die in $S$ eine Quadratwurzel besitzen, von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{y \in R}{} oder von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {r z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{z \in R}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{p}{} und $q$ verschiedene \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Zeige, dass die \zusatzklammer {über $\Q$ definierten} {} {} Quadriken
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C = V(X^2+Y^2-p), D = V(X^2+Y^2-q) }
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\Q} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht zueinander \definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{} sind.

}
{} {Tipp: Wende die vorstehende Aufgabe auf
\mathl{R=K[Y]}{} und
\mathl{S=(K[Y])[X]/(X^2-Y^2+p)}{} an.}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{6}
{

Finde für die verschiedenen reellen Quadriken eine Realisierung als Kegelschnitt, also als Schnitt einer Ebene mit dem Kegel
\mathl{V(x^2+y^2-z^2)}{,} oder beweise, dass es eine solche Realisierung nicht gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{9}
{

Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {(u,v)} { (u^2+uv,v-u^2) = (x,y) } {.} Bestimme zu den drei folgenden Scharen aus parallelen Geraden die Bildkurven der Geraden unter dieser Abbildung \zusatzklammer {man gebe sowohl eine Parametrisierung als auch eine Kurvengleichung} {} {.} \aufzaehlungdrei{Die zur $u$-Achse parallelen Geraden, }{die zur $v$-Achse parallelen Geraden, }{die zur Antidiagonalen parallelen Geraden. } Bestimme zu jeder Schar, ob sich die Bildkurven überschneiden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{F,G \in K[X_1, \ldots, X_n]}{} Polynome und
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffe aus der siebten Vorlesung für $F$ und $G$ (und für $V(F)$ und $V(G)$) unter dem Körperwechsel verhalten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten die beiden Restklassenringe
\mathdisp {R=\R [X,Y]/(X^2+Y^2-1) \text{ und } S=\R [X,Y]/(XY-1)} { . }
Zeige: $S$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,} $R$ hingegen nicht.

}
{(Das sind die Ringe, die zum reellen Kreis und zur reellen Hyperbel gehören.) } {Tipp: Man betrachte für $R$ das Ideal $(X-1,Y)$.}

\inputaufgabe
{4}
{

Parametrisiere die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { x^2+2xy-y^2+x-3y+4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Quadrik
\mathl{C=V(F)}{} mit Hilfe des Punktes
\mathl{(1,2) \in C}{} und der $y$-Achse. Führe keine Variablentransformation durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Betrachte in ${\mathbb A}^{2}_{\R}$ die beiden Nullstellenmengen
\mathdisp {K=V(X^2+Y^2-1) \text{ und } C=V(X^4+Y^4-1)} { . }
Zeige, dass es eine polynomiale Abbildung in zwei Variablen gibt, die die eine Nullstellenmenge surjektiv auf die andere abbildet. Zeige, dass diese Abbildung schon über $\Q$ definiert ist, dort aber nicht surjektiv ist. Zeige ferner, dass es über $\Q$ überhaupt keine surjektive polynomiale Abbildung von $C$ nach $K$ geben kann und dass es nur die konstanten polynomialen Abbildungen von $K$ nach $C$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei
\mathl{F \in K[X,Y]}{} ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Kurve $V(F)$ genau dann \definitionsverweis {rational}{}{} ist, wenn es einen injektiven $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {Q(K[X,Y]/(F)) } { K(T) } {} gibt.

}
{(Hier steht links der Quotientenkörper und rechts der rationale Funktionenkörper.)} {}