Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei angenommen, dass jede ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
eine Primfaktorzerlegung in $R$ besitzt. Zeige, dass dann $R$ bereits
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Es Es sei $p$ eine Primzahl, die in $A_D$ nicht
\definitionsverweis {träge}{}{}
sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.
\aufzaehlungvier{$p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in $A_D$.
}{$p$ ist nicht
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
\zusatzklammer {also zerlegbar} {} {}
in $A_D$.
}{$p$ oder $-p$ ist die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eines Elementes aus $A_D$.
}{$p$ oder $-p$ ist die Norm eines
\definitionsverweis {Primelementes}{}{}
aus $A_D$.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {imaginär-quadratische Zahlbereich}{}{.}
Bestimme für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \geq }{ -12
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Nichteinheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit minimaler Norm.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte in $\Z[\sqrt{-2}]$ die beiden Elemente
\mathdisp {x=4+7 \sqrt{-2} \text{ und } y=5 + 8 \sqrt{-2}} { . }
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen $N(x)$ und $N(y)$ (in $\Z$) und das von $x$ und $y$ erzeugte Ideal in $\Z[\sqrt{-2}]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{,} wo die $-1$ als \definitionsverweis {Norm}{}{} eines Elementes auftritt, und ein Beispiel, wo dies nicht der Fall ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
des Ideals $(X^2+1)$ im
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
\mathl{\Z[X]/ { \left( X^4+1 \right) }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
des Ideals $(X^2+7)$ im
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
\mathl{\Z[X]/ { \left( X^3- 2 \right) }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass in $\Z[X]$ die
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
\mathkor {} {{ \left( X^4-7,X^3-5 \right) }} {und} {(X+55,282)} {}
übereinstimmen.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
des Ideals $(X^3-5)$ im
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
\mathl{\Z[X]/ { \left( X^4- 7 \right) }}{.}
}{Bestimme die Norm des Ideals $(X^4-7)$ im Zahlbereich
\mathl{\Z[X]/ { \left( X^3- 5 \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von ${\mathfrak p}$ eine echte Primzahlpotenz ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} $\Z[\sqrt{3}]$ endlich viele Elemente $f_1 , \ldots , f_m$, deren \definitionsverweis {Norm}{}{} $13$ ist, und die die Eigenschaft erfüllen, dass jedes Element mit der Norm $13$ zu einem der $f_j$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe das \definitionsverweis {Spektrum}{}{} eines \definitionsverweis {diskreten Bewertungsringes}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ ( \pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{R/ (\pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
von $R$. Zeige, dass es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
$R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { (\pi^ n)/( \pi^ {n+1} )} { K
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{,}
dessen
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{R/ {\mathfrak m}
}
{ = }{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich mit $q$ Elementen sei. Zeige, dass
\mathl{R/ {\mathfrak m}^n}{} ein endlicher Ring mit $q^n$ Elementen ist. Man folgere, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( R/(f) \right) }
}
{ =} { q^{ \operatorname{ord} \, (f) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt, und dass man die Ordnung von $f$ aus der Größe des Restklassenringes berechnen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Charakterisiere die \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mathbed {f \in K[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
\aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer
\definitionsverweis {formalen Ableitung}{}{}
mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.}
}{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$.
}{Die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f$ an der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{K[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{K[X]}{} am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $K(T)$ der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Finde einen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T]
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} {f} {\operatorname{ord} \, (f)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichne $\nu_p(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.
a) Zeige: die Abbildung \maabb {\nu_p} { \Z \setminus \{0\} } { \N } {} ist surjektiv.
b) Zeige: es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu_p(nm)
}
{ = }{ \nu_p (n)+ \nu_p(m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Finde eine Fortsetzung
\maabb {\nu_p} { \Q \setminus \{0\} } { \Z
} {}
der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \Q^{\times}
}
{ = }{ \Q \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Multiplikation und $\Z$ mit der Addition versehen ist} {} {.}
d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_{-5}
}
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{(2,1+\sqrt{-5})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige direkt, dass das Ideal
\mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{} in der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R_{\mathfrak p}}{} ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ derart, dass die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
an ${\mathfrak p}$ kein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(x^2+y^2-1)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der \stichwort {Einheitskreis} {} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(a,b)
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
$R$ von $V$ im Punkt $P$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}{Folgere, dass der
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
\mathl{K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{}
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist
\zusatzklammer {man kann $K$ algebraisch abgeschlossen annehmen} {} {.}
}{Zeige, dass
\mathl{K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{} nicht
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $X$ und von $Y-1$ im lokalen Ring zum Punkt
\mathl{(0,1)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionswortenp{Potenzreihe in einer Variablen}{} über $K$ ist ein formaler Ausdruck der Form
\mathdisp {a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3+ \ldots \text{ mit } a_i \in K} { . }
Es kann hier also unendlich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten $a_i$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \bigcap_{i \in I} R_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_i
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
alle
\definitionsverweis {diskrete Bewertungsringe}{}{}
seien. Zeige: $R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}
{} {}
Ein \definitionsverweis {Modul}{}{,} der außer $0$ keine \definitionsverweis {Torsionselemente}{}{} enthält, heißt \definitionswort {torsionsfrei}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {torsionsfreier}{}{} \definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{} \definitionsverweis {Modul}{}{} $M$ über einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} \definitionsverweis {frei}{}{} ist.
}
{} {}