Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 10



Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl , , eine Primfaktorzerlegung in besitzt. Zeige, dass dann bereits faktoriell ist.


Aufgabe

Es sei quadratfrei und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es Es sei eine Primzahl, die in nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. besitzt eine Primfaktorzerlegung in .
  2. ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in .
  3. oder ist die Norm eines Elementes aus .
  4. oder ist die Norm eines Primelementes aus .


Aufgabe

Es sei quadratfrei und der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für die Nichteinheiten mit minimaler Norm.


Aufgabe

Betrachte in die beiden Elemente

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen und (in ) und das von und erzeugte Ideal in .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen quadratischen Zahlbereich, wo die als Norm eines Elementes auftritt, und ein Beispiel, wo dies nicht der Fall ist.


Aufgabe *

Bestimme die Norm des Ideals im Zahlbereich .


Aufgabe

Bestimme die Norm des Ideals im Zahlbereich .


Aufgabe *

  1. Zeige, dass in die Ideale und übereinstimmen.
  2. Bestimme die Norm des Ideals im Zahlbereich .
  3. Bestimme die Norm des Ideals im Zahlbereich .


Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereich und es sei ein Primideal. Zeige, dass die Norm von eine echte Primzahlpotenz ist.


Aufgabe *

Bestimme im quadratischen Zahlbereich endlich viele Elemente , deren Norm ist, und die die Eigenschaft erfüllen, dass jedes Element mit der Norm zu einem der assoziiert ist.


Aufgabe

Beschreibe das Spektrum eines diskreten Bewertungsringes.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring und sei . Es sei der Restklassenkörper von . Zeige, dass es für jedes einen - Modulisomorphismus

gibt.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring, dessen Restekörper endlich mit Elementen sei. Zeige, dass ein endlicher Ring mit Elementen ist. Man folgere, dass zu die Gleichheit

gilt, und dass man die Ordnung von aus der Größe des Restklassenringes berechnen kann.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Charakterisiere die endlich erzeugten - Untermoduln von . Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei , , und . Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.

  1. Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit .
  2. Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von .
  3. Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal . Zeige, dass die Ordnung

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. .
  2. .
  3. Es ist genau dann, wenn ist.
  4. Es ist genau dann, wenn ist.


Aufgabe

Es sei eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl bezeichne den Exponenten, mit dem die Primzahl in der Primfaktorzerlegung von vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt .

c) Finde eine Fortsetzung der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei mit der Multiplikation und mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.


Aufgabe *

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich das Primideal . Zeige direkt, dass das Ideal in der Lokalisierung ein Hauptideal ist.


Aufgabe

Es sei quadratfrei und . Finde in ein Primideal derart, dass die Lokalisierung an kein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Es sei der Einheitskreis über einem Körper und es sei ein Punkt.

  1. Zeige, dass der lokale Ring von im Punkt ein diskreter Bewertungsring ist.
  2. Folgere, dass der Koordinatenring normal ist (man kann algebraisch abgeschlossen annehmen).
  3. Zeige, dass nicht faktoriell ist.
  4. Bestimme die Ordnung von und von im lokalen Ring zum Punkt .


Aufgabe

Es sei ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über ist ein formaler Ausdruck der Form

Es kann hier also unendlich viele von verschiedene Koeffizienten geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei , wobei die , , alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ist normal.


Ein Modul, der außer keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.


Aufgabe

Zeige, dass ein torsionsfreier endlich erzeugter Modul über einem diskreten Bewertungsring frei ist.



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