Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
4. Es ist ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.

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