Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 9

Aufgaben

Aufgabe *

Betrachte die Quadratrestgruppe

$\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$

wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$ einen Repräsentanten aus ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Aufgabe

Für einen Körper ${}K$ bezeichnet ${}K^{\times 2}\subseteq K^{\times }$ die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe

$K^{\times }/K^{\times 2}.$

1. ${}K$ ist ein endlicher Körper.
2. ${}K=\mathbb {R}$.
3. ${}K=\mathbb {C}$.
4. ${}K=\mathbb {Q}$.

Aufgabe

Zeige, dass die Konjugation auf ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ ein Körperautomorphismus und auf ${}A_{D}$ ein Ringautomorphismus ist. Zeige, dass der Invariantenring gleich ${}\mathbb {Q}$ bzw. gleich ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die ${}1$ Teil einer Ganzheitsbasis von ${}R$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Konjugation für ${}{\sqrt {D}}$ bzw. für ${}\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.

Aufgabe

Bestimme die Spur für ${}{\sqrt {D}}$ bzw. für ${}\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.

Aufgabe

Bestimme die Norm für ${}{\sqrt {D}}$ bzw. für ${}\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.

Aufgabe *

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs ${}A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

${}f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,$

auf und berechne damit die Spur und die Norm von ${}f$.

Aufgabe

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+{\frac {3}{2}}X-{\frac {5}{7}}\right)}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}D$ und ${}E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien ${}A_{D}$ und ${}A_{E}$ die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche. Zeige

${}A_{D}\cap A_{E}=\mathbb {Z} \,.$

Aufgabe *

Bestimme ein Element aus ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$, das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei. Bestimme die Restklassengruppe ${}A_{D}/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl mit ${}D=1\mod 4$, und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ über ${}\mathbb {Z}$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl, sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und sei ${}A_{D}$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme an ${}2$ ein Ringisomorphismus

$R_{2}\longrightarrow (A_{D})_{2}$

vorliegt.

Aufgabe

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche ${}A_{D}$ mit negativem ${}D$ sämtliche Einheiten.

Aufgabe *

Für welche quadratfreien Zahlen mit

${}D=1\mod 4\,$

ist ${}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine Einheit?

Aufgabe

Finde ein quadratfreies ${}D$ derart, dass die natürliche Inklusion

${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}\,$

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}{\mathfrak {q}}'$ in ${}A_{D}$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ liegen. Was ist ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z}$?

Aufgabe *

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass es für eine Primzahl ${}p$ die folgenden drei Möglichkeiten:

1. ${}p$ ist prim in ${}A_{D}$.
2. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
3. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ mit ${}{\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass für eine ungerade Primzahl ${}p$, die kein Teiler von ${}D$ ist, folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}D$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
2. Es gibt zwei Primideale in ${}A_{D}$ oberhalb von ${}(p)$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der Faserring über ${}\mathbb {Z} /(p)$ nicht reduziert ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Konjugation zu jeder Primzahl ${}p$ einen ${}\mathbb {Z} /(p)$- Algebraisomorphismus des Faserringes über ${}p$ in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von [[Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt|Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Faktreferenznummer ]] bzw. [[Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt|Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Faktreferenznummer ]].

Aufgabe

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung ${}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Es sei ${}p$ ein Primfaktor von ${}D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder ${}p$ noch ${}-p$ ein Quadratrest modulo ${}D/p$ ist. Dann ist ${}p$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$, aber nicht prim.

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über ${}p=29$ liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {15}}]$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über ${}p=17$ liegen (man gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?

Aufgabe

Zeige, dass ${}2$ im Ring ${}{\mathbb {Z} }[{\sqrt {5}}]$ irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in ${}A_{5}$ aus?

Aufgabe *

Es sei ${}p$ ein ungerade Primzahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}p$ ist die Summe von zwei Quadraten, ${}p=x^{2}+y^{2}$ mit ${}x,y\in \mathbb {Z}$.
2. ${}p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
3. ${}p$ ist zerlegbar (nicht prim) in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
4. ${}-1$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
5. Es ist ${}p=1\mod 4$.

Aufgabe *

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben ${}n=r^{2}m$, wobei jeder Primfaktor von ${}m$ nur einfach vorkomme. Zeige, dass dann ${}n$ genau dann die Summe von zwei Quadraten ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${}m$ nur ${}2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ haben.

Aufgabe *

Zeige, dass ${}-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl ${}p\neq 2$ ist, wenn ${}p=0,1\mod 3$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ der Ring der Eisenstein-Zahlen und ${}p$ eine ungerade Primzahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine Darstellung ${}p=x^{2}+xy+y^{2}$ mit ${}x,y\in \mathbb {Z}$.
2. ${}p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}\mathbb {Z} [\omega ]$.
3. ${}p$ ist zerlegbar (nicht prim) in ${}\mathbb {Z} [\omega ]$.
4. ${}-3$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
5. Es ist ${}p=0,1\mod 3$.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine quadratfreie positive Zahl mit ${}D=3\mod 4$. Zeige, dass der Zahlbereich zur Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {D}}]$ echt größer als ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} },{\sqrt {D}}]$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ noethersch ist.

Aufgabe

Zeige: Ein kommutativer Ring ${}R$ ist genau dann noethersch, wenn es in ${}R$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset {\mathfrak {a}}_{3}\subset \ldots \,$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt ${}R\times S$ zu noetherschen Ringen ${}R$ und ${}S$ wieder noethersch ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es in ${}K[X,Y]$ keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von Idealen (in einem minimalen Erzeugendensystem) gibt.

Tipp: Betrachte die Potenzen ${}(X,Y)^{m}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus ${}R$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ Elemente, die das Einheitsideal erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen ${}R_{f_{i}}$ für ${}i=1,\ldots ,n$ noethersch sind. Zeige, dass dann auch ${}R$ noethersch ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$K[X_{n},\,n\in \mathbb {N} ]$

der Polynomring über ${}K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Unterring ${}R\subseteq S$ eines noetherschen Ringes nicht noethersch sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Zahlbereich und ${}\mathbb {Z} \subseteq R$ die zugehörige Erweiterung. Zu einer Primzahl ${}p$ sei

${}p=q_{1}^{r_{1}}\cdots q_{k}^{r_{k}}\,$

die Primfaktorzerlegung von ${}p$ in ${}R$ (die ${}q_{i}$ seien also paarweise nicht assoziiert). Zeige, dass die Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ mit der Eigenschaft ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$ genau die Primideale der Form ${}{\mathfrak {p}}=(q_{i})$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und seien ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ verschiedene Primideale ${}\neq 0$. Dann gibt es einen Ringisomorphismus

$R/{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\times R/{\mathfrak {q}}.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und seien ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ zwei verschiedene Primideale. Dann ist

${}{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}\,.$

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring ${}\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.