Eisensteinzahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ der Ring der Eisenstein-Zahlen und ${}p$ eine ungerade Primzahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine Darstellung ${}p=x^{2}+xy+y^{2}$ mit ${}x,y\in \mathbb {Z}$.
2. ${}p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}\mathbb {Z} [\omega ]$.
3. ${}p$ ist zerlegbar (nicht prim) in ${}\mathbb {Z} [\omega ]$.
4. ${}-3$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
5. Es ist ${}p=0,1\mod 3$.

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