Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 8
- Aufgaben
Es sei ein Zahlbereich und sei eine -Basis von . Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante
minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen -Tupeln aus .
Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene -Basen von an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.
Bestimme die Diskriminante zur Basis der kubischen Körpererweiterung
Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine - Basis von . Zeige, dass dann
Es sei ein Zahlbereich der Form mit einem normierten Polynom vom Grad . Zeige, dass , , eine Ganzheitsbasis von ist.
Es sei ein teilerfremdes Tupel von ganzen Zahlen. Zeige, dass es eine - Matrix gibt, die das Tupel als eine Zeile enthält und deren Determinante gleich ist.
Führe Induktion über das Minimum der Beträge des Tupels.
Mit der vorstehenden Aufgabe kann man auch die folgende Aufgabe lösen.
Zeige, dass es in einem Zahlbereich stets Ganzheitsbasen gibt, die die enthalten.
Es sei eine endliche Körpererweiterung mit einem normierten Polynom und sei der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es ein derart gibt, dass nach Nenneraufnahme an eine Ringisomorphie
vorliegt.
Man gebe Beispiele für Zahlbereiche , wo die Spur surjektiv bzw. nicht surjektiv ist.
Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.
Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit Elementen.
Es sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.
Es sei ein endlicher reduzierter kommutativer Ring. Zeige, dass ein Produkt von endlichen Körpern ist.
Es sei eine Primzahl und sei eine endlichdimensionale - Algebra der Dimension . Zeige, dass höchstens Primideale besitzt.
Es sei ein Zahlbereich und sei . Zeige, dass ist, dass also die Norm zum von erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.
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