Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 7



Aufgaben

Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und es sei ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:

  1. ist ganz über .
  2. Es ist .
  3. ist normal.

Dann ist der Ring der ganzen Zahlen von .


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Man gebe Beispiele für Unterringe , die je zwei der folgenden Eigenschaften erfüllen, aber nicht die dritte.

  1. ist ganz über .
  2. Es ist .
  3. ist normal.


Aufgabe

Der abgebildete Graph gehört zu einem normierten ganzzahligen Polynom . Kann ein Zahlbereich sein?


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und es sei eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen. Es sei ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass ebenfalls ein Zahlbereich ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen Zahlbereichen und Zwischenkörpern .


Aufgabe

Es seien und Zahlbereiche. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. und sind isomorph.
  2. Es gibt ein und ein , beide nicht , derart, dass die Nenneraufnahmen und zueinander isomorph sind.
  3. Es gibt ein Primideal von und ein Primideal von derart, dass die Lokalisierungen und zueinander isomorph sind.
  4. Die Quotientenkörper und sind isomorph.


In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:


Ein Polynom heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von teilerfremd sind.


Aufgabe

Es sei ein Polynom. Zeige, dass man als mit und primitivem schreiben kann.


Aufgabe

Es sei ein irreduzibles Polynom. Dann ist , aufgefasst als Polynom in , ebenfalls irreduzibel.


Aufgabe

Es seien primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt primitiv ist.


Aufgabe

Es sei ein irreduzibles Polynom mit dem zugehörigen Primideal

wobei die letzte Inklusion zur Nenneraufnahme im Sinne von Proposition 5.4  (3) gehört. Zeige, dass der Abschluss von in gleich mit

ist. Zeige ferner, dass zu isomorphen Restekörpern und die Restklassenringe und nicht isomorph sein müssen.


Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element in der kubischen Körpererweiterung


Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element in der kubischen Körpererweiterung


Aufgabe *

Es seien verschiedene Primzahlen und

die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element bezüglich der Basis .


Aufgabe

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung . Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu bezüglich der - Basis von .


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung. Es sei und die beschreibende Matrix der Multiplikationsabbildung bezüglich einer - Basis von . Zeige, dass bezüglich einer geeigneten -Basis von die Multiplikationsabbildung durch eine Blockmatrix der Form

beschrieben wird.


Aufgabe

Zeige, dass die Definition Anhang 6.2 der Spur eines Modulhomomorphismus unabhängig von der gewählten Basis des freien Moduls ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei eine - Matrix und eine -Matrix über . Zeige


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Wie findet man die im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Wie findet man die Determinante von im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Spur von die Summe der Eigenwerte ist.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Betrachte die endliche Körpererweiterung

vom Grad . Sei ein Element davon mit . Berechne das Minimalpolynom von und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von .

Welche Bedingungen an ergeben sich aus der Voraussetzung, dass ganz über ist?


Aufgabe

Bringe für die Körpererweiterung die Konzepte Norm und Spur mit dem Betrag und dem Realteil einer komplexen Zahl in Verbindung.


Aufgabe

Berechne für das Element in der Körpererweiterung

die Norm und die Spur.


Aufgabe

Es sei eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen. Zeige, dass für die Normen die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis sowie ihre Norm und ihre Spur.


Aufgabe

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis sowie ihre Norm und ihre Spur.


Aufgabe *

Es sei eine endliche Körpererweiterung und . Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der - linearen Multiplikationsabbildung

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Es sei

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass die Spur von gleich ist.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und sei

der durch das irreduzible Polynom definierte Erweiterungskörper von . Es sei

  1. Finde die Matrix bezüglich der -Basis von der durch die Multiplikation mit definierten -linearen Abbildung.
  2. Berechne die Norm und die Spur von .
  3. Bestimme das Minimalpolynom von .
  4. Finde das Inverse von .
  5. Berechne die Diskriminante der Basis .


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung, und . Zeige, dass das charakteristische Polynom der Multiplikationsabbildung

eine Potenz des Minimalpolynoms von ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass für jeden Körperautomorphismus

auch ein Ringhomomorphismus nach ist, und dass daher die Galoisgruppe von auf der Menge der komplexen Einbettungen von operiert.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass genau dann eine Galoiserweiterung vorliegt, wenn die Bildkörper unter allen komplexen Einbettungen von übereinstimmen.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.



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