Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 6

Aufgaben

Aufgabe

Finde eine irreduzible Ganzheitsgleichung (über ${}\mathbb {Z}$) für die Eisensteinzahl ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine ${}R$- Algebra. Zeige, dass wenn ${}R$ ein Körper ist, die Begriffe algebraisch und ganz für ein Element ${}x\in A$ übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.

Aufgabe *

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei ${}f\in R$ ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung und sei ${}f\in R$. Zeige: Wenn ${}f$, aufgefasst in ${}S$, eine Einheit ist, dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}R$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung ${}R\subseteq S$, wo es einen Nichtnullteiler ${}f\in R$ gibt, der ein Nullteiler in ${}S$ wird.

Aufgabe *

Berechne in

$\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$

das Produkt

$(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$

(${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine endlichdimensionale ${}K$- Algebra. Zeige direkt (ohne Lemma 6.7), dass ${}A$ ganz über ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung zwischen endlichen kommutativen Ringen ${}R$ und ${}S$. Zeige, dass eine ganze Ringerweiterung vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${}S=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

eine (als Algebra) endlich erzeugte ${}R$- Algebra, die ganz über ${}R$ sei. Zeige, dass ${}S$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ${}F\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ${}R_{F}\subseteq S_{F}$ ganz ist.

Aufgabe

1. Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass ${}R$ ganz-abgeschlossen im Polynomring ${}R[X]$ ist.
2. Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring ${}R$, der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass ${}R$ genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Es sei angenommen, dass die Normalisierung von ${}R$ gleich dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ ist. Zeige, dass dann ${}R$ selbst schon ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei $R_{i}\subseteq K,\,i\in I$, eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt ${}\bigcap _{i\in I}R_{i}$ normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}R$ ist normal.
2. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ normal.
3. Für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$ normal.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}a\in R$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}a$ keine Quadratwurzel in ${}R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{2}-a$ prim in ${}R[X]$ ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper ${}Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Normalisierung ${}R^{\operatorname {norm} }$. Zeige, dass durch

${}{\mathfrak {f}}={\left\{g\in R\mid gR^{\operatorname {norm} }\subseteq R\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}k$ eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring

${}R=\mathbb {Z} [k{\mathrm {i} }]={\left\{a+ck{\mathrm {i} }\mid a,c\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\,.$

Zeige die Isomorphie ${}R\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+k^{2})$ und dass ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ganz über ${}R$ ist.

In den folgenden Aufgaben wird der Polynomring ${}K[X,Y]$ in zwei Variablen über einem Körper ${}K$ verwendet. Diesen kann man definieren als ${}(K[X])[Y]$. Die Elemente in ihm, also die Polynome in zwei Variablen, haben die Gestalt

${}P=\sum _{i,j}a_{ij}X^{i}Y^{j}\,.$

Wir interessieren uns für Restklassenringe vom Typ ${}R=K[X,Y]/(F)$. Die Nullstellenmenge von${}F$ besteht aus der Menge derjenigen Punkte ${}(x,y)$ in der Ebene, für die ${}F(x,y)=0$ ist (dieses Nullstellengebilde ist eine geometrische Version des Ringes ${}R$).

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte den Restklassenring

${}R=K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})\,.$

Dies ist ein Integritätsbereich nach Aufgabe 6.17. Zeige, dass die Normalisierung von ${}R$ gleich dem Polynomring ${}K[T]$ ist. Skizziere die Nullstellenmenge von ${}F=X^{2}-Y^{3}$ in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.

Polynomringe kann man entsprechend über jedem Grundring und mit beliebig vielen Variablen definieren.

Aufgabe

Es sei

${}P=X^{2}-3X+7\,$

und

${}Q=Y^{3}-Y^{2}+4Y-5\,.$

Begründe, dass die Ringerweiterung

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X,Y]/(P,Q)\,$

ganz ist und finde eine Ganzheitsgleichung für ${}x+y$ und für ${}xy$ (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Sei ${}f\in R$. Zeige, dass für das von ${}f$ erzeugte Hauptideal gilt:

${}R\cap (f)S=(f)R\,.$

Aufgabe

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}a,b\geq 1$ und ${}n\geq 2$ die Zahl ${}a^{n}-b^{n}$ nicht ein Teiler von ${}a^{n}+b^{n}$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ ganz über ${}R$ und ${}T$ ganz über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ ganz über ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte den Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R=K[X,Y]\rightarrow K[T]$, der durch die Einsetzung

$X\longmapsto (T-1)(T+1){\text{ und }}Y\longmapsto T(T-1)(T+1)$

gegeben ist. Finde ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}F\in K[X,Y]$ derart, dass ${}F$ unter ${}\varphi$ auf ${}0$ abgebildet wird. Skizziere die Nullstellenmenge von ${}F$ in der reellen Ebene.

Aufgabe

Definiere unter Anlehnung an die Parametrisierung der pythagoreischen Tripel einen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} [X,Y,Z]/(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} [U,V].$

Zeige, dass dieser injektiv, aber nicht surjektiv ist.